Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las funciones f: ℝ → ℝ, utilizando los métodos algebraico, gráfico y de análisis de valores:a. f: x ↦ f(x) = 4x3 - 2b. f: x ↦ f(x) = raíz cuadrada de x + 4c. f: x ↦ f(x) = - 4x + tres cuartos
Respuestas
Comenzaremos definiendo los conceptos del tipo de funciones indicadas:
Función inyectiva: Es aquella función para la cual a cada valor de X sólo le corresponde un valor de Y.
Función sobreyectiva: Es aquella función para la cual a cada elemento el conjunto de llegada le corresponde, al menos, un elemento del dominio que le corresponde
Con lo indicado se procede a analizar las funciones indicadas
a. f(x) = 4x^3-2
Función inyectiva
f(x1) = f(x2)
4(x1)^3 - 2 = 4(x2)^3 – 2
4(x1)^3 = 4(x2)^3
(x1)^3 = (x2)^3
x1 = x2
Por lo tanto la función es inyectiva
Función sobreyectiva
Dom f(x) = R
Rg f(x) = R
Por lo tanto la función es sobreyectiva
b. f(x) = (x+4)^(1/2)
Función inyectiva
f(x1) = f(x2)
[(x1)+4]^(1/2) = [(x2)+4]^(1/2)
{[(x1)+4]^(1/2)}^2 = {[(x2)+4]^(1/2)}^2
(x1)+4 = (x2)+4
x1 = x2
Por lo tanto la función es inyectiva
Función sobreyectiva
Dom f(x) = [-4,+inf)
Rg f(x) = [0, +inf)
Por lo tanto la función no es sobreyectiva
c. -4x + 3/4
Función inyectiva
f(x1) = f(x2)
-4(x1) + 3/4 = -4(x2) + 3/4
-4(x1) = -4(x2)
x1 = x2
Por lo tanto la función es inyectiva
Función sobreyectiva
Dom f(x) = R
Rg f(x) = R
Por lo tanto la funcion es sobreyectiva