Question

Buenas tardes quien me podria ayudar

Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

Answer 1

Bueno, para hallar la primitiva, es fácil si te das cuenta, es la derivada de la raíz, es decir,

Si, $f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$, entonces su derivada será ,  $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-9}}$, y eso es justamente lo que tiene dentro de la integral, entonces

 $\displaystyle \int{\frac{x}{\sqrt{x^{2}-9}}} \, dx =\sqrt{x^{2}-9}+C$

ahora si ocupémonos de los límites de integración, como habrás notado la función a integrar tiene problemas justamente en 3 (límite inferior)...entonces habrá que hallar el límite cuando por ejemplo   $b\rightarrow{3}$, lo cual es equivalente $b\rightarrow3^{+},a\rightarrow5^{-}$...entonces,

$\displaystyle\int_{3}^{5}{\frac{x}{\sqrt{x^{2}-9}}}dx=\left(\sqrt{x^{2}-9}\right|_{3}^{5}=\lim_{b\rightarrow3^{+}}{\sqrt{x^{2}-9}}+\lim_{a\rightarrow5^{-}}{\sqrt{x^{2}-9}}=4+0\\\\\int_{3}^{5}{\frac{x}{\sqrt{x^{2}-9}}}dx=4$

de aquí puedes concluir que,
1) la integral converge
2) converge a 4
3) el área bajo la curva está definida por 4

y eso sería todo...espero tesirva y si tienes alguna duda me avisas...

PD.: Si gustas puedes mandarme tus dudas a mi whatsapp: +593978810674 y con gusto te ayudaré...

Saludos,
Santiago Seeker