Question

Ayuda con este límite trigonométrico pleaseeeee!
Lim (tanx-senx)/(〖sen〗^2 x)
x→0

Answer 1

Tienes el siguiente límite,

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\tan(x)-\sin(x)}{\sin^{2}(x)}}$

el secreto para resolver límites es ser ingenioso para levantar la indeterminación SIN la necesidad de usar L´Hopital, eso es trampa...jaja...ahora, un mecanismo formal no existe, pero, el álgebra elemental, propiedades de los logaritmos, todo lo que aprendiste en el colegio, esas cosas que decías para que rayos voy a aprenderlas....ahora te pueden servir, jugar con las expresiones matematicas te van a ayudar, entonces, aquí vamos a desarrollar un poco,

Siendo que, $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)},$ y por la identidad trignométrica, $\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$, de donde despejando tienes que, $\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)$ y si te das cuenta, ésto es una diferencia de cuadrados (factoreo) entonces,  $\sin^{2}(x)=(1-\cos(x))(1+\cos(x))$, listo con todo ésto empecemos

La indeterminación es obvio que queda, $\frac{0}{0}$, ya que $\tan(0)=\sin(0)=0$...enotnces,

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\tan(x)-\sin(x)}{\sin^{2}(x)}}=\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}-\sin(x)}{\sin^{2}(x)}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}{\cos(x)}}{\sin^{2}(x)}}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{1}{\sin^{2}(x)}}\left(\frac{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}{\cos(x)}\right)=\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{1}{\sin^{2}(x)}}\left(\frac{\sin(x)(1-\cos(x))}{\cos(x)}\right)=...$

ten en cuenta que simplificar los "senos" mmm....bueno, por muy tentador que sea no te va a ayudar a resolver el ejercicio, entonces, sigamos,

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{1}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}}\left(\frac{\sin(x)(1-\cos(x))}{\cos(x)}\right)$

no era recomendable simplficar los senos, porque te va a quedar un seno abajo y la indeterminación se mantendría ya que (algo)/(0) no existe¡...ahora si podemos simplificar considderando que x nunca toma el valor de cero, entonces, podemos tachar,

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{1}{1+\cos(x)}}\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)=\frac{\sin(0)}{(1+\cos(0))(\cos(0))}=\frac{0}{(1+1)(1)}=\frac{0}{2}=0$

lento pero seguro¡....y con eso sería todo, esperote sirva y si tienes alguna duda me avisas...

PD.: Si gustas puedes escribirme y te puedo ayudar con otros ejercicios con mucho gusto: +593978810674

Saludos,
Santigo Seeker