Question

Lim de 2/(9-x²) cuando x tiende a 3

Answer 1

Ten en cuenta que los valores que se obtiene del DENOMINADOR forman una restricción...que es justamente las llamadas, asíntotas verticales...es decir los valores que no pertenecen al dominio de la función. Entonces, ya de plano el límite no existe, pero hay que demostrarlo, entonces,

 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}{\frac{2}{x^{2}-9}}=\frac{2}{0}$

y eso es una indeterminación, entonces hay que levantarla...para eso, su usa la noción de límites laterales, es decir que te vas a acercar al 3 por la derecha y ver que pasa, y luego, que pasa cuando te acercas al 3 por la izquierda...

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}{\frac{2}{x^{2}-9}}\equiv \displaystyle\lim_{x\rightarrow3^{+}}{\frac{2}{x^{2}-9}}\hspace{4mm}y\hspace{4mm}\displaystyle\lim_{x\rightarrow3^{-}}{\frac{2}{x^{2}-9}}$

ahora la notación $3^{+}$ significa que me voy a acercar al 3 por la derecha es decir un numero muy cercano al 3 por la derecha PERO NUNCA 3, sería, 2,999999999.....es muy cercano al 3 pero NO ES 3, entonces el primer límite sería lo mismo que decir

 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow2,9999}{\frac{2}{x^{2}-9}}=\frac{2}{(2,9999)^{2}-9}=\frac{2}{-0,00001}=-\infty$

queda claro que 2,999^2-9 NO ES CERO, es muuuuuy cercano a 0...y en particular es un CERO "negativo"...por lo tanto puedes decir que el límite será menos infinito...

Ahora quiero que hagas lo mismo con el otro límite de acuerdo?...por ejemplo un número cercano al 3 por la izquierda será ....3,0001...ahora la resta del denominador verás que es un cero "positivo" entonces el límite será mas infinito...

y puesto que los límites no son iguales....entonces el límite NO EXISTE¡...claro...si te diriges a tu casa por la izquierda y ves que te desvías a la del vecino...y si te vas a tu casa por la derecha y te comienzas a desviar al otro lado, entonce TU CASA no está ahí no existe¡¡...jajaja...

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.