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La transformada de Fourier de una función continua unidimensional f(x) viene dada
por la expresión
donde u es la variable en el espacio de la frecuencia, y j = (-1)1/2
Análogamente, dada F(u), puede obtenerse la función f(x) calculando la
transformada inversa de Fourier
Ambas transformadas existen siempre que f(x) sea continua e integrable y que F(u)
sea integrable, condiciones que casi siempre se satisfacen en la práctica. La
transformada de Fourier de una función real f(x) consta, en general, de una parte
real R(u) y otra imaginaria I(u) , de forma que
F(u) = R(u) + j I(u)
o también puede expresarse en términos de amplitud |F(u)| y fase (u):
donde
y
A |F(u)| se le conoce normalmente como el espectro de Fourier o módulo del
espectro, y a (u) como su ángulo de fase. Al cuadrado del módulo, |F(u)|2 , se le
denomina espectro de energía de f(x).
El término exponencial complejo puede escribirse, siguiendo el teorema de Euler,
de la forma
Interpretando la ecuación de la transformada inversa de Fourier como una suma
de términos discretos, resulta que la función inicial f(x) está compuesta por un
F u f x e dx j 2ux
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