Question

Considerar Z=(2,1,5)Z=(2,1,5), P=(4,−1,1)P=(4,−1,1), Q=(1,−2,2)Q=(1,−2,2) y R=(1,−1,3)R=(1,−1,3). La distancia de ZZ al plano que pasa por PP, QQ y RR es:

Answer 1

Organizando los datos, tenemos:

Z = (2, 1, 5)

P = (4, - 1, 1)

Q = (1, - 2, 2)

R = (1, - 1, 3)

Primero, debemos calcular la ecuación del plano que pasa por los 3 puntos

La ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R y cualquier punto de coordenadas (x, y, z)

|   x - x1       y - y1      z - z1    |
|   x2 - x1    y2 - y1    z2 - z1  |  = 0 
|   x3 - x1    y3 - y1    z3 - z1  |

Si establecemos que:

(x1, y1, z1) = ( 4, - 1, 1 )

(x2, y2, z2) = ( 1, -2, 2 )

(x3, y3, z3) = ( 1, - 1, 3 )

| x - 4    y + 1   z - 1 |
| 1 - 4   -2+1   2 - 1 |  = 0 
| 1 - 4   -1+1   3 - 1 |

| x-4   y+1   z-1 | 
| -3      -1     1   | = 0
| -3       0      2  |

( x - 4)*(-1)*(2) + ( y+1)*(1)(-3) - [ (z-1)*(-1)*(-3) + (y+1)*(-3)*(2) ] = 0

(x - 4)*(-2) + ( y + 1 )*(- 3) - [ (z - 1)*(3) +(y + 1)*(-6) ] = 0

-2x + 8 - 3y - 3 - [ 3z - 3 - 6y - 6 ] = 0

-2x - 3y + 5 - ( 3z - 6y - 9 ) = 0

-2x - 3y + 5 - 3z + 6y + 9 = 0

-2x + 3y - 3z + 14 = 0

2x - 3y + 3z - 14 = 0 ⇒ ecuación del plano que contiene a los puntos P,R y Q

La distancia de un punto a un plano se calcula de la siguiente manera:

d(Z, π) = | Axo + Byo + Czo + D | / √ (A^2 + B^2 + C^2 )

π: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ ecuación general de un plano

Z = (xo, yo, zo) ⇒ coordenadas del punto

d(Z, π) = | (2)*(2) + (- 3)*(1) + (3)*(5) - 14 | / √ [ (2)^2 + (- 3)^2 + (3)^2 ]

d(Z, π) = | 4 - 3 + 15 - 14 | / √ ( 4 + 9 + 9 )

d(Z, π) = | 1 + 1 | / √ (22)

d(Z, π) = 2 / √22

d(Z, π) = 0,43 unidades ⇒ distancia del punto Z al plano que contiene P,Q y R

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