Question

intervalos con niveles de confianza

Answer 1

Intervalo de confianza para la media de una población Editar
De una población de media {\displaystyle \mu } \mu y desviación típica {\displaystyle \sigma } \sigma se pueden tomar muestras de {\displaystyle n} n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media. Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:[3]​ {\displaystyle \mu _{\bar {x}}=\mu } {\displaystyle \mu _{\bar {x}}=\mu }

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,[4]​ o la distribución poblacional es normal, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}} {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}. Esto se representa como sigue: {\displaystyle {\bar {X}}\sim N(\mu ,{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})} {\displaystyle {\bar {X}}\sim N(\mu ,{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})}. Si estandarizamos, se sigue que: {\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}=Z\sim N(0,1)} {\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}=Z\sim N(0,1)}

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si solo se conoce una media muestral ( {\displaystyle {\bar {x}}} \bar{x}), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará {\displaystyle 1-\alpha } {\displaystyle 1-\alpha } (debido a que {\displaystyle \alpha } \alpha es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto {\displaystyle X_{\alpha /2}} {\displaystyle X_{\alpha /2}} —o, mejor dicho, su versión estandarizada {\displaystyle Z_{\alpha /2}} {\displaystyle Z_{\alpha /2}} o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" {\displaystyle X_{-\alpha /2}} {\displaystyle X_{-\alpha /2}}. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

ConfIntervNormalP.png
Dicho punto es el número tal que:

{\displaystyle \mathbb {P} [{\bar {x}}\geq X_{\alpha /2}]=\mathbb {P} [z\geq z_{\alpha /2}]=\alpha /2} {\displaystyle \mathbb {P} [{\bar {x}}\geq X_{\alpha /2}]=\mathbb {P} [z\geq z_{\alpha /2}]=\alpha /2}

Y en la versión estandarizada se cumple que:

{\displaystyle z_{-\alpha /2}=-z_{\alpha /2}} {\displaystyle z_{-\alpha /2}=-z_{\alpha /2}}

Así:

{\displaystyle \mathbb {P} \left[{\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha } {\displaystyle \mathbb {P} \left[{\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha }

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

{\displaystyle ({\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})} {\displaystyle ({\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})}

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral {\displaystyle ({\bar {x}})} {\displaystyle ({\bar {x}})} ± el producto del valor crítico {\displaystyle Z_{\alpha /2}} {\displaystyle Z_{\alpha /2}} por el error estándar {\displaystyle ({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})} {\displaystyle ({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})}.

Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):[5]​

Aproximaciones para el valor {\displaystyle z_{\alpha /2}} {\displaystyle z_{\alpha /2}} para los niveles de confianza estándar son 1,96 para {\displaystyle 1-\alpha =95\%} {\displaystyle 1-\alpha =95\%} y 2,576 para {\displaystyle 1-\alpha =99\%} {\displaystyle 1-\alpha =99\%}.[6]​

Intervalo de confianza para una proporción Editar
El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida como una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

{\displaystyle (p_{n}-z_{\alpha /2}{\sqrt {\frac {p_{n}(1-p_{n})}{n}}},\;p_{n}+z_{\alpha /2}{\sqrt {\frac {p_{n}(1-p_{n})}{n}}})} {\displaystyle (p_{n}-z_{\alpha /2}{\sqrt {\frac {p_{n}(1-p_{n})}{n}}},\;p_{n}+z_{\alpha /2}{\sqrt {\frac