Question

es posible encontrar un numero q tenga exactamente 8 divisores enteros?

Answer 1

Descomponemos un número en producto de factores primos, le sumamos una unidad a cada uno de los exponentes de los factores de la descomposición y multiplicamos entre sí los rfesultados de las sumas. El resultado de este producto será el número de divisores naturales que tiene el número.

Ejemplo: 1.218 = 2·3·7·29

Todos los exponentes tienen valor 1, sumamos una unidad y los multiplicamos: (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2·2·2·2 = 16. Eso significa que tiene 16 divisores. Si queremos que tenga 8 divisores tenemos que ver las posibilidades de que un producto de factores de como resultado 8:
las posibilidades serían:
a) 1·8 = 8
b) 2·4.

Para conseguir esto usando la explicación anterior tendríamos que buscar un número cuya descomposición fuera:
a) n⁷: 7+1 = 8
b) n·m³: (1+1)(3+1) = 2·4 = 8

Si sustituimos los valors n y m por números primos el resultado será un número con 8 divisores naturales:
Ejemplos del primer tipo:
3⁷ = 2.187. 2.187 tiene 8 divisores naturales: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187
2⁷ = 128. 128 tiene 8 divisores naturales: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
5⁷ = 78.128. 78.125 tiene 8 divisores naturales: 1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125
13⁷ = 62.748.517. 62.478.517 tiene 8 divisores naturales: 1, 13, 169, 2197, 28561, 371293, 4826809, 62748517

Ejemplos del segundo tipo:
2·3³ = 54. 54 tiene 8 divisores naturales: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
2·5³ = 250. 250 tiene 8 divisores naturales: 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250
7·2³ = 56. 56 tiene 8 divisores naturales: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
3·5³ = 375. 375 tiene 8 divisores naturales: 1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375