Question

Polinomios,
Productos notables y  factorización


Factorice completamente sobre ℂ el sgte polinomio.  

4x2  - 12xy + 9y2  + 4x - 6y - 3   

Su respuesta debe ser 3   Rta: (2x – 3y + 3) (2x – 3y - 1)

Answer 1

$4x^{2} - 12xy + 9y^{2} + 4x - 6y - 3 =$
Resolve
$(2x - 3y)^{2} + 2(2x -3y) - 3 =$

Reemplazamos a $(2x - 3y) = u$

Entonces
$u^{2} + 2u - 3 =$

Aplicamos Báscara
u_{(1y2)} =  \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4a c}}{2a} ....a = 1....b=2.....c=-3

$u_{(1y2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

$u_{(1y2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 +12}}{2}$

$u_{(1y2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}$

$u_{(1y2)} = \frac{-2 \pm4}{2}$

$u_1 = \frac{-2 +4}{2} .... u_1 = 1$
$u_2 = \frac{-2 -4}{2} .... u_1 = -3$

Ahora, lo escribimos en forma factorizada
$(u - u_{1})(u - u_{2})$
Reemplazamos
$(u - 1)(u+3)$    sabemos que $(2x - 3y) = u$
Así que
$(2x - 3y -1) (2x-3y +3)$

Espero que te sirva, salu2!!!!

Answer 2

Veamos. La solución se obtiene considerando una ecuación de segundo grado en x. Para eso debemos armarla de la forma ax² + bx + c = 0
Si las raíces de la ecuación son m y n entonces el trinomio se expresa como:

ax² + bx + c = a(x - m) (x - n) (1)

En algunos textos de matemáticas le llaman 5° o 6° caso de factoreo.

Reordenamos el polinomio:

4x² + (- 12y + 4)x + (9y2 - 6y - 3)

Buscamos las raíces. Estudiamos su discriminante: b² - 4ac

b² - 4ac = (- 12y + 4)² - 4 . 4 (9y² - 6y - 3); quitamos paréntesis:

144y² - 96y + 16 - 144y² + 9y + 48 = 64

Su raíz cuadrada es +- 8

Las raíces son m = [- (-12y + 4) + 8] / (2 . 4) = 3/2y + 3/2

 n =  [- (-12y + 4) - 8] / (2 . 4) = 3/2y - 1/2

Reemplazamos en la expresión (1)

4 . [x - (3/2y + 3/2)] . [x - (3/2.y - 1/2)]; 

Descomponemos el 4 = 2 . 2 y multiplicamos por 2 cada corchete

(2x - 3y + 3) (2x - 3y - 1)

Saludos Herminio