Question

Ayuda por favor
a resolver esta ecuación de trigonométrica

2Sen2x-2Senx-2CosX+1=0

X∈[0,2pi]

Answer 1

RESOLUCIÓN.

El valor es de x = 30° y x = 150°.

Explicación.

Dada la siguiente ecuación trigonométrica:

2sen(2x) - 2sen(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Se hace un cambio a esta expresión con la siguiente relación trigonométrica:

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

Sustituyendo:

2*[2sen(x)cos(x)] - 2sen(x) - 2cos(x) + 1 = 0

4sen(x)cos(x) - 2sen(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Ahora se divide toda la expresión entre cos²(x).

4sen(x)cos(x)/cos²(x) - 2sen(x)/cos²(x) - 2cos(x)/cos²(x) + 1/cos²(x) = 0/cos²(x)

4sen(x)/cos(x) - 2sen(x)/cos(x)*1/cos(x) - 2/cos(x) + 1/cos²(x) = 0

Se sabe que:

sen(x)/cos(x) = tan(x)

1/cos(x) = sec(x)

1/cos²(x) = sec²(x)

Sustituyendo:

4tan(x) - 2tan(x)sec(x) - 2sec(x) + sec²(x) = 0

4tan(x) - 2tan(x)sec(x) = 2sec(x) - sec²(x)

2tan(x) * [2 - sec(x)] = sec(x) * [2 - sec(x)]

2tan(x) = sec(x)

2sen(x)/cos(x) = 1/cos(x)

2sen(x) = 1

sen(x) = 1/2

x = ArcSen(1/2)

Como el rango es solo [0, 2π] las soluciones son:

x1 = 30°

x2 = 150°