Question

Una encuesta realizada por TD Ameritrade encontró que uno de cada cuatro inversionistas dispone de fondos cotizados en bolsa en sus portafolios (USA Today, 11 de enero de 2007). Considere una muestra de 20 inversionistas.

a) Calcule la probabilidad de que exactamente cuatro inversionistas disponen de fondos cotizados en bolsa en sus portafolios.
b) Calcule la probabilidad de que por lo menos dos tienen fondos cotizados en bolsa en sus portafolios.
c) Si usted encuentra que exactamente 12 inversionistas disponen de fondos cotizados en bolsa en sus portafolios, ¿dudaría de la exactitud de los resultados de la encuesta?
d) Calcule el número esperado de inversionistas que tienen fondos cotizados en bolsa en sus portafolios.

Answer 1

Al ser un conjuntos de eventos donde la pregunta es cerrada y solo existen dos posibilidades, empleamos distribución binomial, la cual indica que la probabilidad de que ocurra un evento es

P(x) = nCx. pˣ.qⁿ⁻ˣ

Donde x es el número de eventos con resultado positivo, p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso, n es la cantidad de la muestra

DATOS

n = 20
p = 1/4 = 0.25
q = 1 - p = 3/4 = 0.75

a) Calculamos la probabilidad de que 4 inversionistas tengan fondos cotizados en la bolsa

P(4) = 20C4 . (1/4)⁴. (3/4)²⁰⁻⁴ 
P(4) = 4845 . 1/256. 0.01002
P(4) = 0.1896
P(4) ≈ 18.96%

b) Para al menos dos inversionistas

P(2) = 20C2 . (1/4)². (3/4)²⁰⁻²
P(2) = 190 . 1/16. 0.005637
P(2) = 0.0669
P(2) ≈ 6.69%

Teniendo ya la probabilidad para dos, ahora queremos saber para más de dos al menos

P(>2) = 1 - 0.669 = 0.9330 ≈ 93.30% 

c) Para responder esta pregunta tenemos que calcular cual es la probabilidad de que el evento ocurra, entonces para 12 inversionistas

P(12) = 20C12 . (1/4)¹². (3/4)²⁰⁻¹²
P(12) = 125970 . 5.9604x10⁻⁸. 0.10
P(12) = 0.00075168
P(12) ≈ 0.075%

Según los resultados de la encuesta es un evento muy poco probable casi imposible por lo que si dudaría de los resultados 

d) Para calcular el número esperado de inversionistas solo se debe multiplicar la muestra por el porcentaje de éxito  

N = 20x0.25 = 5