Question

Una urna contiene una proporción desconocida de fichas rojas y blancas. Una muestra aleatoria de 60 fichas indicó que el 70% de ellas eran rojas. Hallar los intervalos de confianza a) 95% b) 99% para la proporción real de fichas rojas en la urna.

Answer 1

DATOS

N =  60     Muestra
Pr = 0.7    Probabilidad de que sea ficha roja
Pb = 0.3   Probabilidad de que sea ficha blanca 

PROCEDIMIENTO

a) Para 95%

Conociendo el tamaño de la muestra y la probabilidad de que sea una ficha roja, calculamos la cantidad de fichas rojas que existen en la muestra

n = 60.0.7 = 42

Conociendo que el intervalo de confianza debe ser del 95% 

1 - α = 0,95
α = 0.05
α/2 = 0.025 

Ahora ubicamos este valor en la tabla de distribución normal para conocer cuanto vale Z.

Z = 1.96        para una distribución estándar de 0.025

Luego, conociendo las probabilidades, el valor de Z y el tamaño de la muestra de fichas rojas podemos conocer que el intervalo de confianza es:

Pr - Z.√(Pr.Pb) / n < p < Pr - Z.√(Pr.Pb) / n 
0.7 - 1.96 √(0.7x0.3)/42 < p < 0.7 + 1.96 √(0.7x0.3)/42
0.7 - 0.13859 < p < 0.7 + 0.13859
0.5614 < p < 0.8385

b) Para 99%

1 - α = 0,99
α = 0.01
α/2 = 0.005

Ahora ubicamos este valor en la tabla de distribución normal para conocer cuanto vale Z.

Z = 2.5744       para una distribución estándar de 0.005

Luego, conociendo las probabilidades, el valor de Z y el tamaño de la muestra de fichas rojas podemos conocer que el intervalo de confianza es:

Pr - Z.√(Pr.Pb) / n < p < Pr - Z.√(Pr.Pb) / n 
0.7 - 2.5744 √(0.7x0.3)/42 < p < 0.7 + 2.5744 √(0.7x0.3)/42
0.7 - 0.1820 < p < 0.7 + 0.1820
0.5180 < p < 0.8820