Question

el perímetro de un triángulo rectángulo es 60cm. Sabiendo que la hipotebusa mide 25cm y la proyección de uno de sus catetos tiene una longitud de 9cm, halla las longitudes de los catetos

Answer 1

x+9+25=60
x+34=60
x=60-34
x=26

la hipotenusa mide 25cm
uno de los catetos 9 y otro 26

Answer 2

Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa determinan la altura relativa a dicha hipotenusa.
El teorema del cateto dice que las proyecciones son la media proporcional relativa a la altura.
Esto significa que si una de las proyecciones mide 9 cm , la otra mide 
25 - 9 = 16 cm
Calculamos la altura
16/h = h / 9
h² = ( 9 ) ( 16 )
h² = 144
h = √ 144
h = 12 cm

Esta altura divide al triángulo original en dos nuevos triángulos rectángulos  donde la altura es un cateto común y 9 y 16 son las medidas de los otros catetos
Calculamos las hipotenusas de estos triángulos ( que al final serán los catetos del triángulo original )

a = √ 9² + 12²
a = √ 81 + 144
a = √ 225
a = 15 cm

b = √ 16² + 12²
b = √ 256 + 144
b = √ 400
b = 20 cm

Conclusión
El cateto a  mide a = 15 cm
El cateto b mide b = 20 cm 

Como comprobación
25 + 20 + 15 = 60 cm de perímetro