Question

Expresar como fracción parcial la siguiente función racional y compruebe su solución con Geogebra
(4x-3)/(x+1)((x+2)^3)
Apoyo con este ejercicio porfa, gracias!!

Answer 1

Para resolver por fracciones parciales, debemos ver que tipo de polinomios son los que forman el denominador:

(x + 1) ⇒ raíz en - 1 

( x + 2)^3 ⇒ raíz en - 2 y con multiplicidad 3

( 4 x + 3 ) / [ (x + 1) ( x + 2 )^3 ] = [A/(x+1)]+[B/(x + 2)]+[C/(x+2)^2]+[D/(x+2)^3]

  = A*(x+2)^3 + B(x+1)*(x+2)^2 + C(x+1)(x+2) + D(x+1)

  = A*(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) +(Bx + B)*(x^2 + 4x + 4) + C(x^2 + 3x + 2) + Dx + D

= A*x^3 + 6Ax^2 + 12Ax + 8A + Bx^3 + 4Bx^2 + 4Bx + Bx^2 + 4Bx + 4B + Cx^2 + 3xC + 2C + Dx + D

= x^3( A + B) + x^2 (6A + 4B + B + C) + x (12A + 4B + 4B + 3C + D) + 8A + 4B + 2C + D

= x^3 (A + B) + x^2 (6A + 5B + C) + x (12A + 8B + 3C + D) + 8A + 4B + 2C + D

Igualando coeficientes de la ecuación:

(1)  0 = A + B    ⇒  A = -B

(2)  0 = 6A + 5B + C   ⇒   0 = -6B + 5B + C ⇒ 0 = - B + C ⇒ B = C

(3)  4 = 12A + 8B + 3C + D ⇒ 4 = -12B + 8B + 3C + D ⇒ 4 = - 4B + 3C + D
 
                                                                                                4 = -4C + 3C + D

                                                                                                4 = - C + D

                                                                                                 D = 4 + C

(4)  3 = 8A + 4B + 2C + D ⇒ 3 = - 8B + 4B + 2B + 4 + C

                                                 3 = - 2B + 4 + B

                                                 3 = - B + 4
           
                                                 B = 4 - 3 

                                                 B = 1

C = 1  ; A = - 1  ; D = 4 + 1 = 5

La descomposición en fracciones parciales resulta:

(4x + 3) / [(x+1)*(x+2)^3] = [ -1 / (x+1) ] + [1 / (x+2)] + [1 / (x+2)^2] + [5 / (x+2)^3]

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