Question

15 puntos por ejemplos resueltos de velocidad relativa

Answer 1

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.
Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c)El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)El tiempo total est=t1+t2=2vdv2−c2Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.Ejemplo 2En esta sección el barco atraviesa el río. Pueden ocurrir dos casos:Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea mayor que la de la corriente cQue la velocidad del barco v respecto de la corriente sea menor que la de la corriente cPrimer caso: v>cUn río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra.Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.
El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.El resultado de la suma V=v+c es Vj=(v·cosθ i+v·sinθ j)+cio bien,0=c+v·cosθ
V=v·sinθEl ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v.La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.V=v2−c2−−−−−−√El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje serát=2dv2−c2−−−−−−√Con los datos del problema,La velocidad del bote respecto de tierra es de 7√  m/s .El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º.El tiempo total de viaje será t=2·37.6=75.6 sSegundo caso: v<cCuando la velocidad del barco v (respecto de la corriente) es menor que la velocidad de la corriente c, no es posible que el barco atraviese el río sin desviarse.


La velocidad del barco respecto de tierra es V=v+c  V=(v·cosθ i+v·sinθ j)+ci=(c+v·cosθ) i+v·sinθ jEl tiempo t que tarda en cruzar el río de anchura d y la desviación x a lo largo de la orilla est=dv⋅sinθ  x=(c+vcosθ)t=(c+vcosθ)dv⋅sinθLa desviación mínima x se produce para el ángulodxdθ=−v2−vccosθv2cos2θ=0  cosθm=−vcEl tiempo t que tarda en el viaje de ida para el ángulo de mínima desviación θm est=−dc⋅cosθmsinθm=−2dc⋅sin(2θm)El tiempo es mínimo, para el ángulo 2θm=270, θm=135ºEl tiempo de viaje de ida es mínimo, para aquellos botes que se muevan con velocidad v=-c·cos135 haciendo un ánguloθm=135º con la dirección de la corriente. El tiempo de viaje y la desviación x estm=2dc  x=(c−ccos135⋅cos135)d−c⋅cos135⋅sin135=dEjemploUn río fluye hacia el este con velocidad de c=4 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=3 m/s.El ángulo que hace que la desviación x sea mínima es θm=138.6º, la desviación mínima es xm=88.2 m, el tiempo de viaje es t=50.4 sSi la velocidad del bote es v=-c·cos135, v=43√/2≈2.83 m/s , el ángulo que produce la desviación mínima esθm=135º, la desviación mínima es xm=100 m, el tiempo de viaje de ida es tm=50.0 s