Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el eje X, y que pase por los puntos A(-2, 3) B(4, 5). AYUDA POR FAVOR.


F4BI4N: es para hoy? :v
Christa28: Si :v
F4BI4N: está divertido el ejercicio :v , te adjunto la solución? :v
Christa28: por favor :'v
F4BI4N: ya va :3
F4BI4N: Actualiza la pag :v

Respuestas

Respuesta dada por: F4BI4N
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Hola,

Sabemos que la ecuación de la circunferencia está dada por :

(x-h)² + (y-k)² = r²

Donde,
(h,k) : corresponde al centro
    r   : es el radio de la circunferencia

Ahora bien, como condición, nos piden que el centro esté en el eje x, esto implica que la coordenada del centro esté en 0, esto es, que k = 0 :

(x-h)² + y² = r²

Esta es la forma de la ecuación, nos piden también que pase por los puntos A(-2,3) y B(4,5). ¿Cómo hacemos que la circunferencia pase por esos puntos? La respuesta es que obligamos que el espacio geométrico pase por tales coordenadas, en otras palabras, sustituimos el punto A en la ecuación:

(-2-h)² + 3² = r²

(En el lugar de x coloqué la correspondiente coordenada x del punto A, lo mismo para la y)

Hacemos lo mismo con el otro punto :

(4-h)² + 5² = r²

Luego de sustituir en la ecuación nos quedamos con las 2 ecuaciones:

(-2-h)² + 3² = r²
(4-h)² + 5² = r²

Si te fijas detenidamente, ambas expresiones equivalen a r², por lo tanto son iguales! , al igualar encontraremos el valor de h :

(-2-h)² + 3² = (4-h)² + 5²

Desarrollamos un poco la expresión:

4 + 4h + h² + 9 = 16 - 8h + 25

12h = 28

\boxed{h =  \frac{28}{12} =  \frac{7}{3}}

Ya que sabemos el valor de h, simplemente sustituimos su valor en cualquiera de las expresiones encontradas, tomando la expresión:

(4-h)² + 5² = r²

Sustituimos:

( 4 -  \frac{7}{3})^{2} + 5^{2} = r^{2} \\ \\
\boxed{r^{2} =  \frac{250}{9}}

Ya tenemos h y r², con esto ya podemos expresar la ecuación cuyo centro está en X y que pasa por (-2,3) y (4,5) :

\boxed{\left(x- \frac{7}{3}\right)^{2} + y^{2} = \frac{250}{9}  }

Podemos expresarla en su forma general si desarrollamos el binomio al cuadrado:

x^{2} -  \frac{14x}{3} +  \frac{49}{9} + y^{2} =  \frac{250}{9}

Si amplificamos por 9 podemos dejar la ecuación sin denominadores:

9x^{2} -  42x +  49 + 9y^{2} =  250 \\ \\
\boxed{9x^{2}  + 9y^{2} - 42x - 201 = 0 }

Así quedaría en la forma general.

Cualquier duda la dejas aquí en la tarea,

Salu2 :).


Christa28: Muchísimas gracias! La única duda que tengo es cómo desarrollar esa ecuación, la última :/ la tengo que presentar de manera extensa.
F4BI4N: De inmediato la edito y la dejo en su forma general :)
Christa28: Gracias! :D
F4BI4N: Listo, actualiza la pág :v
Christa28: GRACIAAAAAAS :v me ayudaste muchísimo xD
F4BI4N: De nada, que bueno que te sirvió ^^
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