Question

Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el eje X, y que pase por los puntos A(-2, 3) B(4, 5). AYUDA POR FAVOR.

Answer 1

Hola,

Sabemos que la ecuación de la circunferencia está dada por :

(x-h)² + (y-k)² = r²

Donde,
(h,k) : corresponde al centro
    r   : es el radio de la circunferencia

Ahora bien, como condición, nos piden que el centro esté en el eje x, esto implica que la coordenada y del centro esté en 0, esto es, que k = 0 :

(x-h)² + y² = r²

Esta es la forma de la ecuación, nos piden también que pase por los puntos A(-2,3) y B(4,5). ¿Cómo hacemos que la circunferencia pase por esos puntos? La respuesta es que obligamos que el espacio geométrico pase por tales coordenadas, en otras palabras, sustituimos el punto A en la ecuación:

(-2-h)² + 3² = r²

(En el lugar de x coloqué la correspondiente coordenada x del punto A, lo mismo para la y)

Hacemos lo mismo con el otro punto :

(4-h)² + 5² = r²

Luego de sustituir en la ecuación nos quedamos con las 2 ecuaciones:

(-2-h)² + 3² = r²
(4-h)² + 5² = r²

Si te fijas detenidamente, ambas expresiones equivalen a r², por lo tanto son iguales! , al igualar encontraremos el valor de h :

(-2-h)² + 3² = (4-h)² + 5²

Desarrollamos un poco la expresión:

4 + 4h + h² + 9 = 16 - 8h + 25

12h = 28

$\boxed{h = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}}$

Ya que sabemos el valor de h, simplemente sustituimos su valor en cualquiera de las expresiones encontradas, tomando la expresión:

(4-h)² + 5² = r²

Sustituimos:

$( 4 - \frac{7}{3})^{2} + 5^{2} = r^{2} \\ \\ \boxed{r^{2} = \frac{250}{9}}$

Ya tenemos h y r², con esto ya podemos expresar la ecuación cuyo centro está en X y que pasa por (-2,3) y (4,5) :

$\boxed{\left(x- \frac{7}{3}\right)^{2} + y^{2} = \frac{250}{9} }$

Podemos expresarla en su forma general si desarrollamos el binomio al cuadrado:

$x^{2} - \frac{14x}{3} + \frac{49}{9} + y^{2} = \frac{250}{9}$

Si amplificamos por 9 podemos dejar la ecuación sin denominadores:

$9x^{2} - 42x + 49 + 9y^{2} = 250 \\ \\ \boxed{9x^{2} + 9y^{2} - 42x - 201 = 0 }$

Así quedaría en la forma general.

Cualquier duda la dejas aquí en la tarea,

Salu2 :).