Question

1. Desde una torre de 15 cm de altura se observa un barco con un ángulo de depresión de 15º, ¿A qué distancia de la torre se encuentra el barco?

2. Un avión vuela con una velocidad de 350 km/h en dirección 30º hacia una ciudad
¿Cuánto tardará en llegar a la ciudad si esta se localiza 900 km al norte?

3. Desde la azotea de un edificio de 45 metros de altura, se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 20º ¿Cuál es la distancia del automóvil a la base del edificio, medida horizontalmente?

4. Un faro de 45cm ilumina un barco con un rayo de luz que forma un ángulo de 30º con la horizontal ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro?

5. Un hombre en una galería de arte, mira un gran cuadro desde una distancia de 3m, el ángulo de elevación del marco superior del cuadro es de 25º y el ángulo de depresión del marco inferior es de 15º ¿cuál es la medida de la altura del cuadro?

Answer 1

1) En el triángulo rectángulo, se tiene:

cateto opuesto = altura ⇒ h = 15 cm

ángulo de depresión = ángulo adyacente ⇒ α = 15°

Usando la identidad trigonométrica ⇒ sen(α)

sen(15°) = h / ( distancia )

distancia = ( 15 cm ) / sen(15°)

distancia = 57,96 m ⇒ distancia del bote a la torre

2) Organizando los datos:

v = 350 km/h [ cos(30°) i + sen(30°) j ]

x = 900 km j ⇒ dirección norte

t = x / v ⇒ tiempo de llegada

t = 900 j / { 300 [ cos(30°) i + sen(30°) j }

t = ( 900 j ) / ( 259,81 i + 150 j )

t = ( 900 ) / ( √ [ (259,81)^2 + (150)^2 ] )

t = ( 900 km ) / ( 300 km/h )

t = 3 h ⇒ tiempo de llegada del avión

3) En el triángulo rectángulo se tiene:

cateto opuesto = altura ⇒ h = 45 m

ángulo depresión = ángulo adyacente ⇒ α = 20°

 Usando la identidad trigonométrica ⇒ tg(α)

tg(20°) = h / distancia

distancia = ( 45 m ) / tg(20°)

distancia = 123,63 m ⇒ distancia del automóvil a la base del edificio

4) Similar al 1) y al 3)

5) 

ángulo = 15º 

cateto opuesto = altura desde el suelo a la parte inferior del cuadro = h 

cateto contíguo = distancia entre el hombre y la pared = x = 5 m 

Luego por la razón tangente: 

tg de un ángulo = cateto opuesto/ cateto contíguo 

Es decir: 

tg15º = h/x 

tg15 = h/5 

El otro: 

ángulo de 30º 

cateto opuesto = altura desde el suelo hasta la parte inferior del cuadro + altura del cuadro = h+y 

cateto contíguo = x = 5 m 

Por la razón tangente: 

tg 30º = (h+y)/5 

Juntando ambas ecuaciones, tendremos: 

tg 15º = h/5 

tg30º = (h+y)/5 

Despejando h en ambas: 

h = 5tg15º 
h = 5tg30º- y 

Igualandolas: 

5tg15º = 5tg30º - y 

de donde: 

y = 5tg30º-5tg15º 

y = 2,886751346 - 1,339745962 

y = 1,547 

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