Question

En un recipiente con la forma de un cilindro recto¿Como se puede determinar que. El material que se usa para construirlo es mínimo?

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Las ecuaciones que te permitirán utilizar la menor cantidad de material posible son:

r = ∛(V/2π)

h = V/(π*r²)

Explicación.

En primer lugar se parte de la ecuación del volumen de un cilindro recto:

V = π*r²*h

Dónde:

V es el volumen.

r es el radio.

h es la altura.

Hay que tener en cuenta que tanto el radio como la altura se ajustan dependiendo del volumen que se desee.

Despejando el valor de la altura:

h = V/πr²

Ahora se plantea la ecuación de la superficie que serán los lugares que ocupará el material. El recipiente se tomará como cerrado, entonces tendrá dos tapas y el cuerpo del cilindro.

A = 2*St + Sc

Dónde:

A es el área superficial.

St es el área de la superficie de la tapa.

Sc es el área de la superficie del cuerpo.

Las ecuaciones de las superficies son:

St = π*r²

Sc = 2π*r*h

Sustituyendo:

A = 2*π*r² + 2π*r*h

Sustituyendo el valor de h encontrado previamente:

A = 2πr² + 2πr*(V/πr²)

A = 2πr² + 2V/r

Para encontrar el mínimo valor del radio se deriva la ecuación y se iguala a cero (Ya que el radio el mínimo valor que puede tomar es cero).

dA = 4πr - 2V/r² = 0

Despejando el valor del radio se tiene que:

4πr - 2V/r² = 0

4πr³ = 2V

r³ = V/2π

r = ∛(V/2π)