Question

Necesito resolver este ejecicio: Hallar todas las formas de la ecuación de un plano determinado por los res puntos siguientes: P=(4;0;0) Q=(2;1;0) R=(1;0;1)

Answer 1

La forma inmediata es la ecuación vectorial paramétrica:

OR = OP + s.U + t.V

OR = (x, y, z) es el vector posición de un punto genérico del plano
OP es el vector posición de un punto del plano.
U es un vector paralelo al plano
V es otro vector paralelo al plano, no paralelo con U
s y t son dos variables paramétricas reales.

U = QP = OP - OQ = (2, - 1, 0)
V = RP = OP - OR = (3, 0, - 1)
OP = (4, 0, 0)

La ecuación vectorial es: OR = (4, 0, 0) + s.(2, - 1, 0) + t.(3, 0, - 1)

Forma paramétrica:

x = 4 + 2.s + 3.t
y = 0 - s + 0.t
z = 0 + 0.s - t

La forma general del plano es Ax + By + Cz + D = 0
(A, B, C) son las coordenadas del vector normal al plano y D un número que depende de las coordenadas de un punto del plano.

El vector normal lo obtenemos del producto vectorial entre U y V

U ∧ V = (1, 2, 3) Puedes verificar que este vector es perpendicular tanto a U como a V

Reemplazamos: x + 2y + 3z + D = 0; falta determinar D 

El plano pasa por (4, 0, 0); por lo tanto D = - 4

Finalmente. x + 2y + 3z - 4 = 0 es la forma general del plano.

Verificamos que contiene a los puntos Q y R

Punto Q: 2 + 2 . 1 + 0 - 4 = 0
Punto R:  1 + 0 + 3 . 1 - 4 = 0

Hay otra forma llamada forma normal de la ecuación.

x.cosα + y.cosβ + z.cosФ - d = 0

Los ángulos son los ángulos directores del vector normal y d es la distancia desde el plano al origen de coordenadas.

cosα = 1 / raíz[1² + 2² + 3²] = 1 / raíz[14] =0,267
cosβ =  2 / raíz[14] = 0,534
cosФ = 3 / raíz[14] = 0,802
d = 4 / raíz[14] = 1,07

Reemplazamos y finalmente queda:

0,267 x + 0,534 y + 0,802 z - 1,07 = 0

Saludos Herminio