Question

Roxana pinta con acuarela en una hoja de papel de 20 cm por 15 cm. A continuación pone esta hoja en un marco de cartón de modo que una franja de ancho uniforme del marco de cartón se ve a todo alrededor de la pintura. ¿Cuál es el ancho de la franja del marco de cartón que se ve alrededor de la pintura, si el área del marco de cartón es de 0.0546 m2?

Answer 1

Hola!

Teniendo en consideración la imagen adjunta, lo primero que debemos definir lo siguiente:

El Área de un Rectángulo = Base x Altura
A1 = Área de las franjas Y = Ancho de las franjas
A2 = Área de la hoja de papel = B x H = 15 cm x 20 cm = 300 cm²
A3 = Área del marco = 0,0546 m2 = 546 cm² por conversión de unidades de medida

Entonces decimos que: 
A1 = A3 - A2
A1 = 546 cm² - 300 cm²
A1 = 246 cm²

Pero tambien sabemos que:
I. La BASE del marco, es igual a la base de la hoja de papel más 2 veces el ancho de las franjas:
B3 = 15 + 2Y

II. La ALTURA del marco, es igual a la altura de la hoja de papel más 2 veces el ancho de las franjas:
H3 = 20 + 2Y

III. Por ende, el AREA del marco (A3), es la multiplicación de su Base (B3) por su altura (H3) 
A3 = (15 + 2Y)(20 + 2Y)

Como deseamos saber el valor de Y, plantearemos la ecuación de la siguiente forma:

A1 = A3 - A2
246 cm² = [(15 + 2Y)(20 + 2Y)] - (300 cm²)
246 = 300 + 30Y + 40Y + 4Y2 - 300
246 = 70Y + 4Y²

Para encontrar el valor de Y en un polinomio de grado 2, podemos utilizar la función cuadrática:
246 = 70Y + 4Y²     >>     4Y² + 70Y - 246  donde  a = 4; b = 70; c = - 246

$\frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4ac } }{2a}$
$\frac{-(70) +- \sqrt{(70)^{2} - 4(4)(- 246) } }{2(4)}$
$\frac{-70 +- \sqrt{4900 +3936 } }{8}$ = ⇒ $\frac{-70 + \sqrt{8836} }{8}$                                                                        = ⇒ $\frac{-70 - \sqrt{8836} }{8}$
  Y1 = 3          Y2 = - 20,5

Como es lógico, descartamos el resultado negativo de Y y decimos que el ancho de la franja del marco de cartón que se ve alrededor de la pintura es de 3 cm.

Saludos!