Question

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Answer 1

La expresión general para una ecuación de segundo grado es:

ax² + bx + c

Las soluciones se hallan media factorización o fórmula general:

x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a (del ± salen las dos soluciones x₁ y x₂).

Necesitamos conocer las expresiones que relacionan los términos de la ecuación cuadrática y las soluciones:

Suma de las soluciones x₁ + x₂ = -b/a

Producto de las soluciones x₁ * x₂ = c/a

Entonces para cada uno:

a) 

x₁ + x₂ = 1 + 4 = 5 = -b/a

x₁ * x₂ = 1 * 4 = 4 = c/a

Como a es igual en ambas:

5 = -b/a → a = -b/5

4 = c/a → a = c/4

c/4 = -b/5, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:

c/(-b) = 4/5

c/b = 4/(-5)

Comparando cada término, se puede ver que:

c = 4
b = -5

Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:

4 = c/a
c = 4

4 = 4/a

a = 4/4

a = 1

Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:

ax² + bx + c

1x² + (-5)x + 4

a) x² - 5x + 4

b)

x₁ + x₂ = 2 + (-1) = 1 = -b/a

x₁ * x₂ = 2 * (-1) = -2 = c/a

Como a es igual en ambas:

1 = -b/a → a = -b/1

-2 = c/a → a = c/(-2)

c/(-2) = -b/1, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:

c/(-b) = (-2)/1

c/b = (-2)/(-1)

Comparando cada término, se puede ver que:

c = -2
b = -1

Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:

-2 = c/a
c = -2

-2 = (-2)/a

a = (-2)/(-2)

a = 1

Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:

ax² + bx + c

1x² + (-1)x + (-2)

b) x² - x - 2

c)

x₁ + x₂ = 3 + 7 = 10 = -b/a

x₁ * x₂ = 3 * 7 = 21 = c/a

Como a es igual en ambas:

10 = -b/a → a = -b/10

21 = c/a → a = c/21

c/21 = -b/10, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:

c/(-b) = 21/10

c/b = 21/(-10)

Comparando cada término, se puede ver que:

c = 21
b = -10

Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:

21 = c/a
c = 21

21 = 21/a

a = 21/21

a = 1

Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:

ax² + bx + c

1x² + (-10)x + 21

c) x² - 10x + 21

d) 

x₁ + x₂ = -11 + 0 = -11 = -b/a

x₁ * x₂ = -11 * 0 = 0 = c/a

Aquí:

0 = c/a 

a*0 = c

Como todo número multiplicado por 0 es igual a 0, entonces:

a*0 = 0 (De aquí se vé que c = 0)

a = 0/0 (Error matemático ó indeterminación) 

a es indeterminado, entonces:

a = 0/0 ∴ a ∈ ℝ (a puede ser cualquier número)

Solo nos queda la ecuación:

-11 = -b/a

-11/1 = -b/a

11/1 = b/a


Comparando cada término, se puede ver que:

a = 1
b = 11

Ya teníamos que c = 0, entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:

ax² + bx + c

1x² + 11x + 0

d) x² + 11x 

e)


x₁ + x₂ = (-2) + (-2) = -4 = -b/a

x₁ * x₂ = (-2) * (-2) = 4 = c/a

Como a es igual en ambas:

-4 = -b/a → a = -b/(-4)

4 = c/a → a = c/4

c/4 = -b/(-4), elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:

c/(-b) = 4/(-4)

c/b = 4/4

Comparando cada término, se puede ver que:

c = 4
b = 4

Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:

4 = c/a
c = 4

4 = 4/a

a = 4/4

a = 1

Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:

ax² + bx + c

1x² + 4x + 4

e) x² + 4x + 4