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La expresión general para una ecuación de segundo grado es:
ax² + bx + c
Las soluciones se hallan media factorización o fórmula general:
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a (del ± salen las dos soluciones x₁ y x₂).
Necesitamos conocer las expresiones que relacionan los términos de la ecuación cuadrática y las soluciones:
Suma de las soluciones x₁ + x₂ = -b/a
Producto de las soluciones x₁ * x₂ = c/a
Entonces para cada uno:
a)
x₁ + x₂ = 1 + 4 = 5 = -b/a
x₁ * x₂ = 1 * 4 = 4 = c/a
Como a es igual en ambas:
5 = -b/a → a = -b/5
4 = c/a → a = c/4
c/4 = -b/5, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = 4/5
c/b = 4/(-5)
Comparando cada término, se puede ver que:
c = 4
b = -5
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
4 = c/a
c = 4
4 = 4/a
a = 4/4
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + (-5)x + 4
a) x² - 5x + 4
b)
x₁ + x₂ = 2 + (-1) = 1 = -b/a
x₁ * x₂ = 2 * (-1) = -2 = c/a
Como a es igual en ambas:
1 = -b/a → a = -b/1
-2 = c/a → a = c/(-2)
c/(-2) = -b/1, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = (-2)/1
c/b = (-2)/(-1)
Comparando cada término, se puede ver que:
c = -2
b = -1
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
-2 = c/a
c = -2
-2 = (-2)/a
a = (-2)/(-2)
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + (-1)x + (-2)
b) x² - x - 2
c)
x₁ + x₂ = 3 + 7 = 10 = -b/a
x₁ * x₂ = 3 * 7 = 21 = c/a
Como a es igual en ambas:
10 = -b/a → a = -b/10
21 = c/a → a = c/21
c/21 = -b/10, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = 21/10
c/b = 21/(-10)
Comparando cada término, se puede ver que:
c = 21
b = -10
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
21 = c/a
c = 21
21 = 21/a
a = 21/21
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + (-10)x + 21
c) x² - 10x + 21
d)
x₁ + x₂ = -11 + 0 = -11 = -b/a
x₁ * x₂ = -11 * 0 = 0 = c/a
Aquí:
0 = c/a
a*0 = c
Como todo número multiplicado por 0 es igual a 0, entonces:
a*0 = 0 (De aquí se vé que c = 0)
a = 0/0 (Error matemático ó indeterminación)
a es indeterminado, entonces:
a = 0/0 ∴ a ∈ ℝ (a puede ser cualquier número)
Solo nos queda la ecuación:
-11 = -b/a
-11/1 = -b/a
11/1 = b/a
Comparando cada término, se puede ver que:
a = 1
b = 11
Ya teníamos que c = 0, entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + 11x + 0
d) x² + 11x
e)
x₁ + x₂ = (-2) + (-2) = -4 = -b/a
x₁ * x₂ = (-2) * (-2) = 4 = c/a
Como a es igual en ambas:
-4 = -b/a → a = -b/(-4)
4 = c/a → a = c/4
c/4 = -b/(-4), elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = 4/(-4)
c/b = 4/4
Comparando cada término, se puede ver que:
c = 4
b = 4
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
4 = c/a
c = 4
4 = 4/a
a = 4/4
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + 4x + 4
e) x² + 4x + 4
ax² + bx + c
Las soluciones se hallan media factorización o fórmula general:
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a (del ± salen las dos soluciones x₁ y x₂).
Necesitamos conocer las expresiones que relacionan los términos de la ecuación cuadrática y las soluciones:
Suma de las soluciones x₁ + x₂ = -b/a
Producto de las soluciones x₁ * x₂ = c/a
Entonces para cada uno:
a)
x₁ + x₂ = 1 + 4 = 5 = -b/a
x₁ * x₂ = 1 * 4 = 4 = c/a
Como a es igual en ambas:
5 = -b/a → a = -b/5
4 = c/a → a = c/4
c/4 = -b/5, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = 4/5
c/b = 4/(-5)
Comparando cada término, se puede ver que:
c = 4
b = -5
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
4 = c/a
c = 4
4 = 4/a
a = 4/4
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + (-5)x + 4
a) x² - 5x + 4
b)
x₁ + x₂ = 2 + (-1) = 1 = -b/a
x₁ * x₂ = 2 * (-1) = -2 = c/a
Como a es igual en ambas:
1 = -b/a → a = -b/1
-2 = c/a → a = c/(-2)
c/(-2) = -b/1, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = (-2)/1
c/b = (-2)/(-1)
Comparando cada término, se puede ver que:
c = -2
b = -1
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
-2 = c/a
c = -2
-2 = (-2)/a
a = (-2)/(-2)
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + (-1)x + (-2)
b) x² - x - 2
c)
x₁ + x₂ = 3 + 7 = 10 = -b/a
x₁ * x₂ = 3 * 7 = 21 = c/a
Como a es igual en ambas:
10 = -b/a → a = -b/10
21 = c/a → a = c/21
c/21 = -b/10, elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = 21/10
c/b = 21/(-10)
Comparando cada término, se puede ver que:
c = 21
b = -10
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
21 = c/a
c = 21
21 = 21/a
a = 21/21
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + (-10)x + 21
c) x² - 10x + 21
d)
x₁ + x₂ = -11 + 0 = -11 = -b/a
x₁ * x₂ = -11 * 0 = 0 = c/a
Aquí:
0 = c/a
a*0 = c
Como todo número multiplicado por 0 es igual a 0, entonces:
a*0 = 0 (De aquí se vé que c = 0)
a = 0/0 (Error matemático ó indeterminación)
a es indeterminado, entonces:
a = 0/0 ∴ a ∈ ℝ (a puede ser cualquier número)
Solo nos queda la ecuación:
-11 = -b/a
-11/1 = -b/a
11/1 = b/a
Comparando cada término, se puede ver que:
a = 1
b = 11
Ya teníamos que c = 0, entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + 11x + 0
d) x² + 11x
e)
x₁ + x₂ = (-2) + (-2) = -4 = -b/a
x₁ * x₂ = (-2) * (-2) = 4 = c/a
Como a es igual en ambas:
-4 = -b/a → a = -b/(-4)
4 = c/a → a = c/4
c/4 = -b/(-4), elijo dejar las letras de un lado y los números del otro:
c/(-b) = 4/(-4)
c/b = 4/4
Comparando cada término, se puede ver que:
c = 4
b = 4
Ahora encontramos a, utilizando cualquiera de los resultados obtenidos, así:
4 = c/a
c = 4
4 = 4/a
a = 4/4
a = 1
Entonces ya tenemos los coeficientes para reemplazar en la ecuación:
ax² + bx + c
1x² + 4x + 4
e) x² + 4x + 4
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