Question

2. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 4, −9 ,16,−25,36,−49,…..

Answer 1

Puesto      1°                2°            3°                   4°               5°                 6°
                 4         ,        9       ,     16       ,      −  25   ,           36   ,        , − 49    
         (-1)¹⁺¹(2)²,    (-1)²⁺¹(3)²   ,   (-1)³⁺¹(4)²   , (-1)⁴⁺¹(5)²    , (-1)⁵⁺¹(6)² , .......
    
EL término general o la regla de correspondencia es :
S(n) = (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)² 

Prueba de Monotonía
 Si S es monótona creciente si para todo n se cumple :
                                       S(n+1) ≥ S(n)
                   (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹. ((n+1)+1)²≥ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)² 
Si (-1)ⁿ⁺¹>0
                                  (-1)(n²+4n+4) ≥(n²+2n+1)
                                                   0 ≥ 2n²+6n+5 
Como vemos la desigualdad no se cumple para ningún n  para los cuales (-1)ⁿ⁺¹.>0 , lo que es muestra suficiente para concluir que no es M.creciente 

La sucesión sera monótona decreciente si para n se cumple que :
                                     S(n+1) ≤g S(n)
                     (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹. ((n+1)+1)²≤ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)²
Si (-1)ⁿ⁺¹.<0 
      →                       (-1)(n²+4n+4) ≥(n²+2n+1)
                                        0 ≥ 2n²+6n+5 
Nuevamente para los n donde (-1)ⁿ⁺¹.<0 , no se cumple S(n+1) ≤g S(n), con lo cual podemos concluir que tampoco es M.decreciente.

Prueba de Convergencia
Si existe el límite cuando n→∞  la sucesión será convergente , caso contrario será divergente.
 Límite n→∞ (-1)ⁿ⁺¹. (n+1)² = (-1)∧∞ x (∞) = Indeterminado 

Queda indeterminado porque resulta l∞} , pero si nos fijamos  ,cuando exponente es par resulta ∞ y si el exponente es impar resulta -∞ por lo que tampoco diverge a ∞+ o ∞- .

Por lo tanto la Sucesión es oscilante (no es ni convergente ni divergente).