Question

Alguien podría ayudarme con estos 2 limites

Answer 1

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}$

Multiplicamos arriba y abajo por $(\sqrt{x}+2)$

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}\times\frac{(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)}$

Usamos diferencia de cuadrados arriba

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(x-4)}{(x^2-16)(\sqrt{x}+2)}$

Multiplicamos arriba y abajo por $(x+4)$

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(x-4)}{(x^2-16)(\sqrt{x}+2)}\times\frac{(x+4)}{(x+4)}$

Usamos diferencia de cuadrados nuevamente

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(x^2-16)}{(x^2-16)(\sqrt{x}+2)(x+4)}$

Cancelamos

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(x+4)}$

Aplicamos el límite

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=\frac{\sqrt{4}}{(\sqrt{4}+2)(4+4)}$

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=\frac{2}{4\times8}$

$lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{x^2-16}=\frac{1}{16}$

Luego para el otro problema

$lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}$

Multiplicamos arriba y abajo por $x(x+\sqrt{x})$

$lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}=lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}\times\frac{x(x+\sqrt{x})}{x(x+\sqrt{x})}$

Aplicamos diferencia de cuadrados arriba y distribuimos convenientemente abajo

$lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}=lim_{x\to 1}\frac{x^2-x}{(x^2-x)(x+\sqrt{x})}$

Cancelamos

$lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}=lim_{x\to 1}\frac{1}{x+\sqrt{x}}$

Aplicamos el límite

$lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{1+\sqrt{1}}$

$lim_{x\to 1}\frac{x-\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{2}$

y con esto ya quedan resueltos ambos límites