Question

se tiene el segmento de recta que une A(-1,2) con B(3,4).
a) encuentre una ecuación que exprese el hecho que un punto P(x,y) sea equidistante de A y de B.
b) defina geometricamente el conjunto de puntos que describe la ecuacion del inciso a)

Answer 1

Sea (x, y) el conjunto de puntos buscado.

a) Distancia a A: √[(x + 1)² + (y - 2)²]

Distancia a B: √[(x - 3)² + (y - 4)²]

Si son iguales, sus cuadrados también.

(x + 1)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - 4)²; quitamos paréntesis

x² + 2 x + 1 + y² - 4 y + 4 = x² - 6 x + 9 + y² - 8 y + 16

Cancelamos términos cuadráticos.

2 x + 1 - 4 y + 4 = - 6 x + 9 - 8 y + 16; reducimos:

8 x + 4 y - 20 = 0; o bien 2 x + y - 5 = 0 

Es una recta cuyos puntos equidistan de A y de B

b) Esta recta se llama mediatriz del segmento. Es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. Verificamos este punto.

x = (3 - 1) / 2 = 1; y = (4 + 2) / 2 = 3 

El punto medio es P (1, 3); pertenece a la mediatriz: 2 . 1 + 3 - 5 = 0

Se adjunta gráfico con las conclusiones.

Saludos Herminio