Un objeto de 0,5kg está en MAS con una amplitud de 0,2m en el extremo de un resorte horizontal. La aceleración máxima del objeto tiene una magnitud de 3m/s2. Calcule a) la constante de fuerza del resorte, b) la velocidad máxima del objeto, c) por consideraciones de energía la velocidad del objeto cuando se desplaza 0,15m a la izquierda de su posición de equilibrio.
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Respuesta dada por:
3
Hola!
La constante de fuerza viene dada por:
![K = w^{2}M K = w^{2}M](https://tex.z-dn.net/?f=K+%3D++w%5E%7B2%7DM)
Donde:
K: constante de fuerza (N/m)
w: frecuencia cíclica (rad/s)
M: masa (kg)
La velocidad viene dada por:
![v = w \sqrt{ A^{2}- x^{2}} v = w \sqrt{ A^{2}- x^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=v+%3D+w+%5Csqrt%7B+A%5E%7B2%7D-+x%5E%7B2%7D%7D+)
Donde:
v: velocidad (m/s)
A: amplitud (m)
x: posición (m)
La aceleración viene dada por:
![a_{max}= w^{2}A a_{max}= w^{2}A](https://tex.z-dn.net/?f=+a_%7Bmax%7D%3D+w%5E%7B2%7DA)
Donde:
= aceleración máxima (
)
Ahora bien, para calcular la constante de fuerza K primero se debe determinar la frecuencia cíclica w, despejándola de la fórmula de aceleración, se tiene:
![w= \sqrt{ \frac{ a_{max}}{A}} w= \sqrt{ \frac{ a_{max}}{A}}](https://tex.z-dn.net/?f=w%3D++%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B+a_%7Bmax%7D%7D%7BA%7D%7D)
![w= \sqrt{ \frac{ 3m/s^{2}}{0,2m}} w= \sqrt{ \frac{ 3m/s^{2}}{0,2m}}](https://tex.z-dn.net/?f=w%3D++%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B+3m%2Fs%5E%7B2%7D%7D%7B0%2C2m%7D%7D)
![w=3,87rad/s w=3,87rad/s](https://tex.z-dn.net/?f=w%3D3%2C87rad%2Fs)
a) La constante de fuerza:
![K= (3,87 rad/s)^{2}. 0,5kg = 7,49N/m K= (3,87 rad/s)^{2}. 0,5kg = 7,49N/m](https://tex.z-dn.net/?f=K%3D+%283%2C87+rad%2Fs%29%5E%7B2%7D.+0%2C5kg+%3D+7%2C49N%2Fm)
b) La velocidad máxima del objeto se determina cuando x=0m
![v = (3,87rad/s) \sqrt{ (0,2m)^{2}- (0m)^{2}} = 0,77m/s v = (3,87rad/s) \sqrt{ (0,2m)^{2}- (0m)^{2}} = 0,77m/s](https://tex.z-dn.net/?f=v+%3D+%283%2C87rad%2Fs%29+%5Csqrt%7B+%280%2C2m%29%5E%7B2%7D-+%280m%29%5E%7B2%7D%7D+%3D+0%2C77m%2Fs)
c) La velocidad del objeto cuando se desplaza a la izquierda de su punto de equilibrio resulta
![v = (3,87rad/s) \sqrt{ (0,2m)^{2}- (0,15)^{2}}=0,51m/s v = (3,87rad/s) \sqrt{ (0,2m)^{2}- (0,15)^{2}}=0,51m/s](https://tex.z-dn.net/?f=v+%3D+%283%2C87rad%2Fs%29+%5Csqrt%7B+%280%2C2m%29%5E%7B2%7D-+%280%2C15%29%5E%7B2%7D%7D%3D0%2C51m%2Fs)
La constante de fuerza viene dada por:
Donde:
K: constante de fuerza (N/m)
w: frecuencia cíclica (rad/s)
M: masa (kg)
La velocidad viene dada por:
Donde:
v: velocidad (m/s)
A: amplitud (m)
x: posición (m)
La aceleración viene dada por:
Donde:
Ahora bien, para calcular la constante de fuerza K primero se debe determinar la frecuencia cíclica w, despejándola de la fórmula de aceleración, se tiene:
a) La constante de fuerza:
b) La velocidad máxima del objeto se determina cuando x=0m
c) La velocidad del objeto cuando se desplaza a la izquierda de su punto de equilibrio resulta
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