Question

Las casas de Laura y de Samanta están a 150m de distancia entre sí y entre ellas se encuentra un edificio cuya punta pueden observar a 45° y 60° de inclinación desde el nivel del piso respectivamente. Halla la altura del edificio

Answer 1

Las casas de Laura y de Samanta están a 150m de distancia entre sí y entre ellas se encuentra un edificio cuya punta pueden observar a 45° y 60° de inclinación desde el nivel del piso respectivamente.
 Halla la altura del edificio

◘ El edificio está entre las dos casas.
◘ Laura ve la punta del edificio a 45º 
◘ Samanta ve la punta del edificio a 60º.

La distancia entre sus casas es de 150 metros
Entre ellas está el edificio, no sabemos a qué distancia de cada casa

◘ Hallar la altura del edificio = x , entonces 

$Tangente \ \alpha = \dfrac{Cateto \ opuesto}{Cateto\ adyacente} \\ \\ \\ tangente \ 45\º = \dfrac{altura\ del \ edificio}{distancia \ casa \ de \ Laura} \\ \\ \\ tangente \ 60\º = \dfrac{altura\ del \ edificio}{distancia \ casa \ de \ Samanta} \\ \\ Distancia \ entre \ Laura\ y\ Samanta = 150\ metros \\ \\ Laura + Samanta = 150\ metros \quad \to Laura = 150\ m - Samanta$


$\left[\begin{ \ Tangente \ 45\º = \dfrac{Altura \ del \ edificio}{150\ metros - Samanta} }}\right] \\ \\\left[\begin{\ Tangente \ 60\º = \dfrac{Altura \ del \ edificio}{Samanta} }}\right] \\ \\ Resolvemos \\ \\\left[\begin{ \dfrac{ \sqrt{2}}{2} = \dfrac{Altura \ del \ edificio}{150\ metros - Samanta} }}\right] \\ \\\left[\begin{\sqrt{3} = \dfrac{Altura \ del \ edificio}{Samanta} }}\right] \\ \\ \\ Despejamos \\ \\ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} *(150\ m -Samanta) = Altura\ del \ edificio$

$\dfrac{ \sqrt{2} }{2} *(150\ m -S) = x \\ \\ \\ \sqrt{3}*Samanta = Altura\ del\ edificio \\ \\ \sqrt{3}*S= x \\ \\ Igualamos \ las \ x \ y \ nos \ queda \\ \\ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} *(150\ m -S) = \sqrt{3}*S \qquad despejamos \\ \\ 75 \sqrt{2}\ metros - \dfrac{ \sqrt{2} }{2}S = \sqrt{3}*S \\ \\ 75 \sqrt{2}\ metros = \sqrt{3}*S + \dfrac{ \sqrt{2} }{2}S\\ \\ 75 \sqrt{2}\ metros = \dfrac{ 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} }{2}S$

$75 \sqrt{2} : \dfrac{ 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} }{2}= S \\ \\ \dfrac{ 2.75 \sqrt{2} }{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}= S \qquad racionalizamos \\ \\ \\ \dfrac{ 150 \sqrt{2} }{(2 \sqrt{3} + \sqrt{2})} * \dfrac{ (2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) }{(2 \sqrt{3} - \sqrt{2})}=S \\ \\ \\ \dfrac{ 300 \sqrt{6} -150 (\sqrt{2})^2 }{(2 \sqrt{3})^2 -( \sqrt{2})^2}=S \\ \\ \\ \dfrac{ 300 \sqrt{6} -300 }{2*3 -2}=S \\ \\ \\ \dfrac{ 300(\sqrt{6} -1) }{4}=S \qquad \boxed{75( \sqrt{6}-1)\ metros = S\to 108,71\ metros = S}$

$108,71\ metros = S\quad Entonces \\ \\ Laura = 150\ m - Samanta \\ \\Laura = 150\ m - 108,71 \ m\quad \to \boxed{Laura =41,29\ metros} \\ \\ Altura \ del \ edificio = tangente \ 45\º * 41,29 \ metros \\ \\ Altura \ del \ edificio = 0,70* 41,29 \ metros \\ \\ \boxed{ \boxed{Altura \ del \ edificio = 28,90\ metros}}$

Espero que te sirva, salu2!!!!