Question

¿Qué factor numérico tiene $15 ^{n+2} + 16^{2n+1}$ ,n∈N?
Usar Inducción Matemática
¡Gracias!

Answer 1

1) Veamos para n = 1
$f(n)=15^{n+2} + 16^{2n+1} \\ \\ f(1)=31\cdot 241$

2) Intentemos "adivinar" cuáles de los dos factores primos son factores de $f(n)$

2.1) 
$16^{2n+1}\equiv (-15)^{2n+1}\mod 31\\ \\ 16^{2n+1}\equiv -15^{2n+1}\mod 31\\ \\ \text{Luego ...}\\ \\ 15^{n+2} + 16^{2n+1}\equiv 15^{n+2} - 15^{2n+1}\mod 31\\\\ 15^{n+2} + 16^{2n+1}\equiv 15^{n+1}(15 - 15^{n})\mod 31\\\\ \texttt{Para n=1, tenemos residuo 0, pero para n\ \textgreater \ 1, no.}\\ \texttt{Por ende descartamos a 31 como factor de }f(n)$

2.2) Ahora vamos a suponer que $241 | f(n)\,,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Veamos si es cierto $241|f(n+1)$:


$f(n+1)=15^{n+3}+16^{2n+3}\\ \\ 16^2=256\equiv 15\mod 241\\ \\ 16^{2n+1}=16^{2n+1}\mod 241\\ \\ \texttt{entonces: }16^2\cdot16^{2n+1}\equiv15\cdot 16^{2n+1}\mod 241\\ \\ \texttt{Por consiguiente: }\\ \\ 15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv 15^{n+3}+15\cdot 16^{2n+1}\mod 241\\ \\ 15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv 15\left(15^{n+2}+16^{2n+1}\right)\mod 241\\ \\ 15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv \left(15^{n+2}+16^{2n+1}\right)\mod 241\\ \\ \texttt{Por hip\'otesis inductiva: } 15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv0\mod 241\\ \\ f(n+1)\equiv0\mod 241$

Por fin el factor buscado es 241