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1
Identificaré primero el nº de lados de cada polígono teniendo en cuenta que son números consecutivos.
El polígono menor tendrá "n" lados
El polígono mediano tendrá "n+1" lados
El polígono mayor tendrá "n+2" lados.
Recurriendo ahora a la fórmula para calcular las diagonales de cualquier polígono que dice:![n\º\ diagonales= \frac{n*(n-3)}{2} n\º\ diagonales= \frac{n*(n-3)}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=n%5C%C2%BA%5C+diagonales%3D+%5Cfrac%7Bn%2A%28n-3%29%7D%7B2%7D+)
Me baso en esa fórmula y represento lo siguiente:
Diag. poli. menor + Diag. polí. mediano + Diag. poli. mayor = 28
Es decir:![\frac{n(n-3)}{2} + \frac{(n+1)(n+1-3)}{2} + \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} =28 \frac{n(n-3)}{2} + \frac{(n+1)(n+1-3)}{2} + \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} =28](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bn%28n-3%29%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%28n%2B1-3%29%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28n%2B2%29%28n%2B2-3%29%7D%7B2%7D+%3D28)
Reduciendo términos semejantes, eliminando denominadores y resolviendo...
![\frac{n(n-3)}{2} + \frac{(n+1)(n+1-3)}{2} + \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} \\ \\ \frac{n^2-3n+(n+1)(n-2)+(n+2)(n-1)}{2} =28 \\ \\ n^2-3n+n^2-2n+n-2+n^2-n+2n-2=56 \\ \\ 3n^2-3n-4=56 \\ \\ 3n^2-3n-60=0\ \ \ dividiendo\ todo\ entre\ 3\ ... \\ \\ n^2-n-20=0 \frac{n(n-3)}{2} + \frac{(n+1)(n+1-3)}{2} + \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} \\ \\ \frac{n^2-3n+(n+1)(n-2)+(n+2)(n-1)}{2} =28 \\ \\ n^2-3n+n^2-2n+n-2+n^2-n+2n-2=56 \\ \\ 3n^2-3n-4=56 \\ \\ 3n^2-3n-60=0\ \ \ dividiendo\ todo\ entre\ 3\ ... \\ \\ n^2-n-20=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bn%28n-3%29%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%28n%2B1-3%29%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28n%2B2%29%28n%2B2-3%29%7D%7B2%7D+%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7Bn%5E2-3n%2B%28n%2B1%29%28n-2%29%2B%28n%2B2%29%28n-1%29%7D%7B2%7D+%3D28+%5C%5C++%5C%5C+n%5E2-3n%2Bn%5E2-2n%2Bn-2%2Bn%5E2-n%2B2n-2%3D56+%5C%5C++%5C%5C+3n%5E2-3n-4%3D56+%5C%5C++%5C%5C+3n%5E2-3n-60%3D0%5C+%5C+%5C+dividiendo%5C+todo%5C+entre%5C+3%5C+...+%5C%5C++%5C%5C+n%5E2-n-20%3D0)
Resolviendo por fórmula general de ec. de 2º grado que dice:
![n_{1}, n_{2} = \frac{-b\pm \sqrt{ b^{2} -4ac}
}{2a} n_{1}, n_{2} = \frac{-b\pm \sqrt{ b^{2} -4ac}
}{2a}](https://tex.z-dn.net/?f=+n_%7B1%7D%2C+n_%7B2%7D+%3D+%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7B+b%5E%7B2%7D+-4ac%7D%0A%7D%7B2a%7D+)
Nos queda esto:
![\left \{ {{n_1\ =\ \frac{1+9}{2}\ =\ 5\ lados } \atop {n_2\ =\ \frac{1-9}{2}\ =\ -4\ \ sale\ negativo,\ no\ es\ v\'alido }} \right. \left \{ {{n_1\ =\ \frac{1+9}{2}\ =\ 5\ lados } \atop {n_2\ =\ \frac{1-9}{2}\ =\ -4\ \ sale\ negativo,\ no\ es\ v\'alido }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bn_1%5C+%3D%5C++%5Cfrac%7B1%2B9%7D%7B2%7D%5C+%3D%5C+5%5C+lados+%7D+%5Catop+%7Bn_2%5C+%3D%5C++%5Cfrac%7B1-9%7D%7B2%7D%5C+%3D%5C+-4%5C+%5C+sale%5C+negativo%2C%5C+no%5C+es%5C+v%5C%27alido+%7D%7D+%5Cright.+)
Por lo tanto, si el polígono menor tiene 5 lados, el mediano tiene 6 y el mayor tiene 7 lados.
Respuesta al ejercicio: heptágono (7 lados) ... opción C)
Saludos.
El polígono menor tendrá "n" lados
El polígono mediano tendrá "n+1" lados
El polígono mayor tendrá "n+2" lados.
Recurriendo ahora a la fórmula para calcular las diagonales de cualquier polígono que dice:
Me baso en esa fórmula y represento lo siguiente:
Diag. poli. menor + Diag. polí. mediano + Diag. poli. mayor = 28
Es decir:
Reduciendo términos semejantes, eliminando denominadores y resolviendo...
Resolviendo por fórmula general de ec. de 2º grado que dice:
Nos queda esto:
Por lo tanto, si el polígono menor tiene 5 lados, el mediano tiene 6 y el mayor tiene 7 lados.
Respuesta al ejercicio: heptágono (7 lados) ... opción C)
Saludos.
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