Question

cuales son las leyes de los exponentes?

Answer 1

Estas son las Leyes de los Exponentes:

Regla del Producto
Cuando tenemos 2 términos con las misma Base los Exponentes se Suman

xª * xⁿ = xª⁺ⁿ


Regla de la División
Cuando tenemos un Cociente con términos de la misma Base los Exponentes se Restan

xª
--- = xª ⁻ⁿ
xⁿ


Regla de la Potencia
Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican

(xª)ⁿ = xª*ⁿ


Regla del Exponente Cero
Todo número elevado a la Potencia “Cero” es uno

x⁰ = 1


Regla del Exponente Negativo
Todo número Elevado a una Potencia Negativa se puede representar como su inverso para cambiarle la Potencia de Negativa a Positiva

            1
x⁻ⁿ = -----
            xⁿ


Regla del Radical
Todo Expresion Radical se puede expresar, se puede expresar como un Exponente Fraccionario

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

Answer 2

Primera ley: Producto de potencias con la misma base.

Ejemplo:

a� � a�

Por la definici�n de potencia se tiene:

donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:

a� � a� = a�+�

= 

Al generalizar se afirma que:

El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base

Ejemplo: 

Por la definici�n de potencia se tiene:

Al cancelar factores iguales queda:

Al generalizar queda:

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo:

y se sabe que:

Por transitividad:

De lo que se concluye que:

Todo n�mero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo

Tercera ley: Potencia de una potencia

Ejemplo: 

Por la definici�n de potencia se tiene:

Apoy�ndose en la ley 1;

Generalizando se tiene que:

La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

Cuarta ley: Potencia de un producto

Ejemplo: (ab)�

Al aplicar la definici�n de potencia:

(ab)� = ab � ab � ab

Aplicando la ley conmutativa:

(ab)� = a � a � a � b � b � b

Y como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda:

a�b�

Generalizando, se tiene que:

La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia

Ejemplo: 

Aplicando la definici�n de potencia:

Abreviando la multiplicaci�n de fracciones:

Al generalizar se tiene que:

Para elevar una fracci�n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la divisi�n de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:

Pero el cociente de la divisi�n (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:

Por transitividad:

a� = 1

De donde se generaliza que:

Todo n�mero diferente de cero con exponente 0 es igual a 1

Si se tiene la expresi�n:

Aplicando la definici�n de potencia:

Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:

Por transitividad:

a� =a

Generalizando:

Todo n�mero elevado a la primera potencia es igual que ese mismo n�mero

Menci�n especial merece el caso de la potenciaci�n con exponente fraccionario.

Ejemplo: 

Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:

Por la definici�n:

Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene:

Por la propiedad transitiva:

Si se extrae la ra�z cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:

Al eliminarse la ra�z y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que