Question

Optimizacion:
Se debe fabricar una caja sin tapa a partir de un cuadrado de cartón, cortando
cuadrados de las esquinas y doblando hacia arriba las cejas formadas. Calcula el
volumen máximo que puede tener esa caja.

Answer 1

RESULTADO

El volumen máximo que puede tener esa caja es de:

                                               Vcaja =  L³/6 

ANÁLISIS

Como dato nos dan un cuadrado de cartón de lado L, donde L es una constante conocida. 

Al cuadrado de cartón se le cortan unos cuadrados en las equinas como indica la imagen adjunta. Esto nos deja que la caja va a tener las siguientes medidas:

Largo:  L - 2x
Ancho: L - 2x
Alto: x

Aparte, conocemos que el Volumen de un cubro es igual al producto de su largo por su ancho y su alto:

Vcaja = (L-2x).(L-2x).x
Vcaja = (L-2x)².x
Vcaja = (L²-4Lx + 4x²) .x
Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x 

Una vez conocida la función para calcular el volumen en función de x, para saber cual es el valor optimo debemos hallar su primera derivada y la igualamos a 0:

V'caja = 12x² - 8Lx + L²  = 0

De allí, resolvemos la ecuación de segundo grado donde a = 12, b = -8L y c = L²:

x = $\frac{-(b)+/- \sqrt{b^{2} - 4.a.c } }{2.a} = \frac{-(-8L)+/- \sqrt{(-8L)^{2} - 4.12.L^{2} } }{2.12}$

x = $\frac{ 8L+/- \sqrt{( 64L^{2} - 48.L^{2} } }{24} = \frac{ 8L+/- \sqrt{( 16L^{2}}) }{24}$

x = $\frac{ 8L+/- 4L }{24}$

x₁ = $\frac{ 8L+ 4L }{24}$
x₁ = 0,5 L

x₂ = $\frac{ 8L- 4L }{24}$
x₂ = 0,166L

Luego, calculamos cual es la segunda derivada de la función del volumen de la caja para aplicar el criterio de la segunda derivada, para conocer si existe un máximo o un mínimo:

V''caja = 24x - 8L < 0 

V''caja(x₁) = 24.(0,5L) - 8L
V''caja(x₁) = 12L - 8L
V''caja(x₁) = 4L > 0

V''caja(x₂) = 24.(0,166L) - 8L
V''caja(x₂) = 4L - 8L
V''caja(x₂) = -4L < 0

Sustituimos el valor de x₂ en la ecuación original de volumen y obtenemos el volumen máximo:

Vcaja = 4x³ - 4Lx² + L²x = 4(0,166L)³ - 4L(0,166L)² + L²(0,166L)
Vcaja = 2L³/3 - 2L³/3 + L³/6
Vcaja =  L³/6