PUNTO 1
Se desea cercar un campo rectangular en el cual el ancho es 20 metros más pequeño que el largo.
a. Encuentre una expresión para el perímetro en términos de una sola variable.
b. Encuentre una expresión para el área cercada en términos de una sola variable.
c. Determine el dominio de la función de área.
d. Utilizando una herramienta de informática represente gráficamente la función de área, a
partir de la gráfica, determine el área máxima cercada.
e. Si el área cercada es igual a 8000 m2, determine las dimensiones del terreno.
PUNTO 2
Una compañía está diseñando un empaque para su producto. Una parte del empaque será una
caja abierta construida de un cuadrado de aluminio cortando cuadros de 3 centímetros en cada
esquina y doblando los lados hacia arriba.
a. Encuentre un modelo para el volumen de la caja.
b. Determine el dominio de la expresión anterior.
c. Si la caja debe ser hecha para contener un volumen de 588 cm3, determine la cantidad de
material utilizado.
Respuestas
Veamos. Sean x e y los lados del
rectángulo, donde x es el ancho.
Entonces el largo es y = x - 20.
a) P = 2 x + 2 y = 2 x + 2 (x - 20) = 4 x - 40
b) A = x y = x (x - 20) = x² - 20 x
c) Dado que el área no debe ser nula ni negativa, resulta x > 20
d) La gráfica se adjunta. No tiene valor máximo
e) Igualamos el área a 8000: x² - 20 x = 8000
Ecuación de segundo grado en x; resulta x = 100 m, La otra solución se desecha
por ser negativa, fuera de dominio
x = 100 m; y = 80 m
2) Sea x el lado de la lámina. Le quitamos 3 cm de cada esquina de modo que la base de la caja mide x - 6. Su volumen es:
a) V = (x - 6)² x = x³ - 12 x + 36 x
El dominio de la función es x > 6
b) Igualamos la función volumen a 588
Veamos. Sean x e y los lados del
rectángulo, donde x es el ancho.
Entonces el largo es y = x - 20.
a) P = 2 x + 2 y = 2 x + 2 (x - 20) = 4 x - 40
b) A = x y = x (x - 20) = x² - 20 x
c) Dado que el área no debe ser negativa, resulta x ≥ 20
d) La gráfica se adjunta. No tiene valor máximo
e) Igualamos el área a 8000: x² - 20 x = 8000
Ecuación de segundo grado en x; resulta x = 100 m, La otra solución se desecha
por ser negativa, fuera de dominio
x = 100 m; y = 80 m
2) Sea x el lado de la lámina. El lado de la base mide entonces x - 6
a) El volumen es V = (x - 6)² x = x³ - 12 x² + 36 x
b) No debe ser nulo ni negativo: el dominio es x > 6
c) V = x³ - 12 x² + 36 x = 588
Es una ecuación de tercer grado. No hay ecuación simple que la resuelva.
Utilizando un procesador matemático resulta x ≈ 12,78 cm
Se adjunta gráfico.
Saludos Herminio
