Question

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuál será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado $ 760 y por cada uno de los restantes, $ 150 más que por el anterior. El pozo ha costado $ 43700.

Answer 1

Hola,

De las progresiones aritméticas, sabemos que el término n-ésimo puede ser expresado como :

$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$

Donde,

$a_1 = \text{primer t\'ermino} \\ \\ d = \text{diferencia} \\ \\ n = \text{cantidad de t\'erminos}$

Ahora bien,podemos identificar que:

a₁ = 760
d = 150

Por lo que el término n-ésimo se puede reescribir como:

$a_{n} = 760 + (n-1)150 \\ \\ a_n = 150n + 610$

Como dato, nos entregan la suma de todos los precios por cada metro de profundidad, si sabemos que el precio va aumentando en 150 en cada metro, nos preguntas cuantos metros de profundidad tendrá el pozo si el total ha sido 43700, en el fondo nos pregunta, cuántos términos hay en la progresión aritmética?

La suma de una progresión aritmética está dada por :

$\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Podemos ir reemplazando, sabemos el valor de la suma total que es 43700 y conocemos el primer término : 

$43700 = \frac{n(760+a_{n})}{2}$

Queremos determinar el valor de n, pero aún tenemos el término de $a_n$ como incógnita, pero en el comienzo definimos el término n-ésimo, si lo reemplazamos en esta ecuación tenemos que :

$43700 = \frac{n(760+(150n + 610))}{2}$

Luego de esto encontramos el valor de n :

$43700 = \frac{n(760+(150n + 610))}{2} \\ \\ 150n^2 + 1370n - 87400 = 0 \\ \\ \text{Soluciones:}\\ \\ \boxed{n_1 = - \frac{437}{15} \ \ \text{y} \ \ n_2 = 20}$

Nos quedamos con el valor con sentido, o sea con la solución que dice que la cantidad de términos o la profundidad del pozo es de 20 metros.

Salu2 :).