Question

Necesito la resolución de estos 2 ejercicios por favor, el primero es encontrar la trasformada de Laplace con condiciones iniciales más su inversa. Y el segundo es una ecuación de cauchy Euler

Answer 1

1)

$\mathcal{L}\{y''-4y'+20y\}=\mathcal{L}\{2e^{2t}\sin(4t)\}\\ \\ \mathcal{L}\{y''\}-4\mathcal{L}\{y'\}+20\mathcal{L}\{y\}=2\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(4t)\}\\ \\ s^2\mathcal{L}\{y\}-sy(0)-y'(0)-4(s\mathcal{L}\{y\}-y(0))+20\mathcal{L}\{y\}= \dfrac{8}{(s-2)^2+16}\\ \\ (s^2-4s+20)\mathcal{L}\{y\}+1=\dfrac{8}{(s-2)^2+16}\\ \\ \\ \mathcal{L}\{y\}=-\dfrac{s^2-4s+12}{(s^2-4s+20)^2}$


$\mathcal{L}\{y\}=\dfrac{8}{[(s-2)^2+16]^2}-\dfrac{1}{(s-2)^2+16}\\ \\ \\ y=\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{8}{[(s-2)^2+16]^2}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s-2)^2+16}\right\}\\ \\ \\ y=\dfrac{e^{2t}}{16}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{128}{(s^2+16)^2}\right\}-\dfrac{e^{2t}}{4}\sin(4t)\\ \\ \\ y=\dfrac{e^{2t}}{16}(\sin(4t)-4t\cos(4t))-\dfrac{e^{2t}}{4}\sin(4t)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{y=-\dfrac{e^{2t}}{16}\left(3\sin(4t)+4t\cos(4t)\right)}}$