Question

El eje x es la perpendicular que pasa por el punto medio
(mediatriz) del segmento de recta que pasa por A (2, 5) y
B (x, y). Calcule x y y

Answer 1

Primero debemos reconocer los conceptos y formulas a usar: Si nos dicen que una recta (en este caso el eje x) es perpendicular a un segmento de recta, entonces EL PRODUCTO PUNTO ENTRE SUS VECTORES DIRECTORES DEBE DAR CERO 0, así, encontramos los vectores directores de la recta y el segmento:

Para el vector director de la recta (eje x) nos damos cuenta de que cualquier punto que pase por esta recta tiene la forma (a,0), donde a es cualquier valor real. Así, escogemos dos valores aleatorios de a para encontrar su vector director.

Decidimos arbitrariamente escoger los puntos (0,0) y (1,0) así, el vector director entre estos puntos (y el eje x) es:

(1,0) - (0,0) = [1,0] = C   (uso los corchetes para distinguir un vector de un punto, al escribirlo, usa la notacion de vector que comunmente manejes)

El vector C [1,0] es vector director el eje x.

El vector director del segmento de recta que pasa por (2,5) y (x,y) es:
(x,y) - (2,5) = [x-2 , y-5]

Así, el producto punto entre [1,0] y [x-2 , y-5] debe dar 0.
por definición de producto punto:
[1,0] • [x-2 , y-5] = 1*(x-2) + 0*(y-5) = 0, asi:
1*(x-2) = 0 y 

x = 2

Para encontrar y, nos fijamos que el eje x PASA por el punto medio del segmento de recta, así, buscamos la expresion que nos permita encontrar el punto medio del segmento de recta entre estos puntos, de esta forma:

Punto medio entre (2,5) y (x,y) = ( ( (x+2)/2) , ( (y+5)/2) ) ), y al decir que el eje x PASA por este punto, podemos igualar esta expresión a un punto que pase por el eje x.

En la primera parte dijimos que cualquier punto que pase por el eje x tiene la forma (a,0), así al igualar tenemos:

( ( (x+2)/2) , ( (y+5)/2) ) ) = (a,0) 
Habiendo encontrado ya x = 2 anteriormente, igualamos el termino en y:

(y+5)/2 = 0, con lo cual y+5 = 0 y :

y = -5

Entonces los puntos (x,y) encontrados son:
x = 2
y = -5
(x,y) = (2,-5)