Question

La diferencia de dos numeros es a su producto como 1:30; la suma de los valores reciprocos de los numeros es 2/15 ¿ cuales son los numeros?

Answer 1

Hola,

Sea "x" un número , e "y" otro número, planteamos las ecuaciones : 

$\textbf{Ecuaci\'on 1}\\ \\ \frac{x-y}{xy} = \frac{1}{30}$

Si te fijas, podemos reescribir esta ecuación como :

$\textbf{Ecuaci\'on 1}\\ \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{30}$

Dejemos esta ecuación por aquí...

Ahora veamos la segunda ecuación, el recíproco de un número x es 1/x , por lo que la suma de ambos recíprocos será : 

$\textbf{Ecuaci\'on 2} \\ \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{15}$

Luego de definir ambas ecuaciones, tenemos que resolver el sistema..

$\left \{ {{\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{30}} \atop {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{15}}} \right.$

Observando, son muy parecidas, de hecho podemos realizar el método de reducción fácilmente, sumando ambas ecuaciones nos queda :

$\frac{2}{y} = \frac{1}{30} + \frac{2}{15} \\ \\ \frac{2}{y} = \frac{5}{30} \\ \\ \boxed{y = 12}$

Con el valor de y conocido, sustituimos en cualquier ecuación para hallar el valor de x , haciéndolo en la primera :

$\frac{1}{12} - \frac{1}{x} = \frac{1}{30} \\ \\ \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{1}{x} \\ \\ \boxed{x=20}$

R : Los números son 20 y 12.

Salu2 :).