Question

Utilice el método gráfico y simplex para resolver el problema
Maximizar Z = 2X1 + X2
Sujeto a: X2 ≤ 10
2X1 + 5X2 ≤ 60
X1 + X2 ≤ 18
y
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Answer 1

Para ser sincero no se "el paso a paso " del método simplex porque "simplex" me suena a método numérico. El procedimiento que voy hacer es el analítico-gráfico .

La función objetivo Z es una superficie  en el espacio y x1 y x2 son las variables independientes "x" y "y" respectivamente.

1ero 
Graficar las curvas de restricción 
2X + 5y ≤ 60
X + y≤ 18
Al tener estas 2 inecuaciones la desigualdad "≤" significa que la región buscada es la intersección de las regiones inferiores a cada curva (imagen 1) . 
Sabemos que x va de 0 al "x" del intersecto que se obtiene igualando las restricciones (claro esta se remplaza "≤" por "=")
y= 18-x
y= 12 - (2/5)x
18-x =12 - (2/5)x
x= 10  ,para saber su valor en "y" remplazas x=8 en cualquiera de las ecu. 
Este punto en el plano es (x,y) = (10,8)
Cuando x=0 su valor en "y" correspondería a la restricción "2X1 + 5X2 ≤ 60" pero como "y" llega hasta y≤10 entonces el punto frontera es (0,10) (este punto no pertenece a ninguna de las 2 restricciones si te fijas )
 
Luego tomamos en cuenta  las restricción para "y" que va de y= 0 a y=10
Ahora , por la gráfica vemos que "y=0" corresponde a la restricción "
X1 + X2 ≤ 18"  , entonces :
x +y = 18
x+0 = 18
x=18 , entonces este punto es (x,y)=(18,0)

Cuando y=10 , corresponde a la restricción "2X1 + 5X2 ≤ 60" , entonces 
2x+ 5y = 60
2x+ 5(10)=60
x= 5, entonces este punto es (5,10)

En resumen , en la imagen 2 te muestro las "líneas o curvas de frontera" (función por tramos )  de nuestra función objetivo "Z" y los puntos limítrofes entre curvas consecutivas 

2do
"Z" la dejamos en función de una sola variable , yo escojo x1:x , según cada función por tramos .
TRAMO 1   " y= 10  (0≤x≤5)
z= 2x+y 
z= 2x+10
Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 5 (para este tramo)
Z= 2(5)+10
Z= 20

TRAMO 2 " y= 12-(2/5)x  donde (5≤x≤10)
Z= 2x + 12-(2/5)x
z= 12+(8/5)x , Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 10 (para este tramo , entonces 
z= 12 +(8/5)(10) 
z= 12+ 16
z= 28 

TRAMO 3 "y= 18-x donde (10≤x≤18)
z= 2x+18-x
z= 18+x, Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 18 (para este tramo) ,así:
z= 18+18
z= 36 .

3ero 
Como las funciones restricción son desigualdades debemos analizar todos los puntos que existan dentro de esta zona delimitada entre las funciones por tramos y los ejes coordenados , por ejemplo puntos como (6,5) , (10,8) ,(12,6 ) etc.
Para ello obtenemos las derivadas parciales y las igualamos a cero para hallar máx o mín , pero resulta que se obtiene :
2=0 (dz/dx1)
1=0 (dz/dx2) 
Lo cual son indeterminaciones, esto es lógico porque como "z" es un superficie similar a un plano ,y un plano se extiende hasta el ∞ porque "x" y "y" pueden extenderse hasta el ∞, por lo tanto debemos guiarnos solo por los pasos "2dos" (no siempre es así ,depende de como esté definida z) .

Como en el paso 2 el máximo z fue z= 36 los puntos solución serán 
(x,y) = (x1,x2) = ( 18,0 ) 

Triada (x1,x2,z) =( 18,0,36) .

En la última imagen te dejo una captura de la solución encontrada por excel de este ejercicio.