Utilice el método gráfico y simplex para resolver el problema
Maximizar Z = 2X1 + X2
Sujeto a: X2 ≤ 10
2X1 + 5X2 ≤ 60
X1 + X2 ≤ 18
y
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
Respuestas
Respuesta dada por:
14
Para ser sincero no se "el paso a paso " del método simplex porque "simplex" me suena a método numérico. El procedimiento que voy hacer es el analítico-gráfico .
La función objetivo Z es una superficie en el espacio y x1 y x2 son las variables independientes "x" y "y" respectivamente.
1ero
Graficar las curvas de restricción
2X + 5y ≤ 60
X + y≤ 18
Al tener estas 2 inecuaciones la desigualdad "≤" significa que la región buscada es la intersección de las regiones inferiores a cada curva (imagen 1) .
Sabemos que x va de 0 al "x" del intersecto que se obtiene igualando las restricciones (claro esta se remplaza "≤" por "=")
y= 18-x
y= 12 - (2/5)x
18-x =12 - (2/5)x
x= 10 ,para saber su valor en "y" remplazas x=8 en cualquiera de las ecu.
Este punto en el plano es (x,y) = (10,8)
Cuando x=0 su valor en "y" correspondería a la restricción "2X1 + 5X2 ≤ 60" pero como "y" llega hasta y≤10 entonces el punto frontera es (0,10) (este punto no pertenece a ninguna de las 2 restricciones si te fijas )
Luego tomamos en cuenta las restricción para "y" que va de y= 0 a y=10
Ahora , por la gráfica vemos que "y=0" corresponde a la restricción "
X1 + X2 ≤ 18" , entonces :
x +y = 18
x+0 = 18
x=18 , entonces este punto es (x,y)=(18,0)
Cuando y=10 , corresponde a la restricción "2X1 + 5X2 ≤ 60" , entonces
2x+ 5y = 60
2x+ 5(10)=60
x= 5, entonces este punto es (5,10)
En resumen , en la imagen 2 te muestro las "líneas o curvas de frontera" (función por tramos ) de nuestra función objetivo "Z" y los puntos limítrofes entre curvas consecutivas
2do
"Z" la dejamos en función de una sola variable , yo escojo x1:x , según cada función por tramos .
TRAMO 1 " y= 10 (0≤x≤5)
z= 2x+y
z= 2x+10
Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 5 (para este tramo)
Z= 2(5)+10
Z= 20
TRAMO 2 " y= 12-(2/5)x donde (5≤x≤10)
Z= 2x + 12-(2/5)x
z= 12+(8/5)x , Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 10 (para este tramo , entonces
z= 12 +(8/5)(10)
z= 12+ 16
z= 28
TRAMO 3 "y= 18-x donde (10≤x≤18)
z= 2x+18-x
z= 18+x, Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 18 (para este tramo) ,así:
z= 18+18
z= 36 .
3ero
Como las funciones restricción son desigualdades debemos analizar todos los puntos que existan dentro de esta zona delimitada entre las funciones por tramos y los ejes coordenados , por ejemplo puntos como (6,5) , (10,8) ,(12,6 ) etc.
Para ello obtenemos las derivadas parciales y las igualamos a cero para hallar máx o mín , pero resulta que se obtiene :
2=0 (dz/dx1)
1=0 (dz/dx2)
Lo cual son indeterminaciones, esto es lógico porque como "z" es un superficie similar a un plano ,y un plano se extiende hasta el ∞ porque "x" y "y" pueden extenderse hasta el ∞, por lo tanto debemos guiarnos solo por los pasos "2dos" (no siempre es así ,depende de como esté definida z) .
Como en el paso 2 el máximo z fue z= 36 los puntos solución serán
(x,y) = (x1,x2) = ( 18,0 )
Triada (x1,x2,z) =( 18,0,36) .
En la última imagen te dejo una captura de la solución encontrada por excel de este ejercicio.
La función objetivo Z es una superficie en el espacio y x1 y x2 son las variables independientes "x" y "y" respectivamente.
1ero
Graficar las curvas de restricción
2X + 5y ≤ 60
X + y≤ 18
Al tener estas 2 inecuaciones la desigualdad "≤" significa que la región buscada es la intersección de las regiones inferiores a cada curva (imagen 1) .
Sabemos que x va de 0 al "x" del intersecto que se obtiene igualando las restricciones (claro esta se remplaza "≤" por "=")
y= 18-x
y= 12 - (2/5)x
18-x =12 - (2/5)x
x= 10 ,para saber su valor en "y" remplazas x=8 en cualquiera de las ecu.
Este punto en el plano es (x,y) = (10,8)
Cuando x=0 su valor en "y" correspondería a la restricción "2X1 + 5X2 ≤ 60" pero como "y" llega hasta y≤10 entonces el punto frontera es (0,10) (este punto no pertenece a ninguna de las 2 restricciones si te fijas )
Luego tomamos en cuenta las restricción para "y" que va de y= 0 a y=10
Ahora , por la gráfica vemos que "y=0" corresponde a la restricción "
X1 + X2 ≤ 18" , entonces :
x +y = 18
x+0 = 18
x=18 , entonces este punto es (x,y)=(18,0)
Cuando y=10 , corresponde a la restricción "2X1 + 5X2 ≤ 60" , entonces
2x+ 5y = 60
2x+ 5(10)=60
x= 5, entonces este punto es (5,10)
En resumen , en la imagen 2 te muestro las "líneas o curvas de frontera" (función por tramos ) de nuestra función objetivo "Z" y los puntos limítrofes entre curvas consecutivas
2do
"Z" la dejamos en función de una sola variable , yo escojo x1:x , según cada función por tramos .
TRAMO 1 " y= 10 (0≤x≤5)
z= 2x+y
z= 2x+10
Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 5 (para este tramo)
Z= 2(5)+10
Z= 20
TRAMO 2 " y= 12-(2/5)x donde (5≤x≤10)
Z= 2x + 12-(2/5)x
z= 12+(8/5)x , Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 10 (para este tramo , entonces
z= 12 +(8/5)(10)
z= 12+ 16
z= 28
TRAMO 3 "y= 18-x donde (10≤x≤18)
z= 2x+18-x
z= 18+x, Como es una f.lineal significa que su máx estará en x= 18 (para este tramo) ,así:
z= 18+18
z= 36 .
3ero
Como las funciones restricción son desigualdades debemos analizar todos los puntos que existan dentro de esta zona delimitada entre las funciones por tramos y los ejes coordenados , por ejemplo puntos como (6,5) , (10,8) ,(12,6 ) etc.
Para ello obtenemos las derivadas parciales y las igualamos a cero para hallar máx o mín , pero resulta que se obtiene :
2=0 (dz/dx1)
1=0 (dz/dx2)
Lo cual son indeterminaciones, esto es lógico porque como "z" es un superficie similar a un plano ,y un plano se extiende hasta el ∞ porque "x" y "y" pueden extenderse hasta el ∞, por lo tanto debemos guiarnos solo por los pasos "2dos" (no siempre es así ,depende de como esté definida z) .
Como en el paso 2 el máximo z fue z= 36 los puntos solución serán
(x,y) = (x1,x2) = ( 18,0 )
Triada (x1,x2,z) =( 18,0,36) .
En la última imagen te dejo una captura de la solución encontrada por excel de este ejercicio.
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d1a/6ff137343cb02af93b9381395182f856.jpg)
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