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a) Tenes una multiplicación de dos términos de igual base, entonces sus exponentes se suman te queda 3^5*3^4 = 3^(4+5) = 3^9
b) Entre paréntesis tenes una división de dos términos iguales entonces da 1. Luego como el paréntesis multiplica a m^3 te queda m^3 multiplicado por 1 es decir m^3
c) En el orden para resolver operaciones, digamos que la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía (primero se resuelven los paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas). Entonces si tenes varías de estas operaciones en un renglón, deberás realizarlas de izquierda a derecha. Entonces comenzarías con x^2/x^4 que da 1/x^2 y luego lo dividirías por x^2, y como dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso te quedaría 1/x^2 sobre 1/x^2 es decir una división entre dos números iguales, por lo cual da 1.
d) Cuando tenes algo elevado a un exponente (en este caso y elevado al cuadrado) y todo ese término elevado a otro exponente, esto es lo mismo que tener la base *que en este caso sería y*, elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Eso sería y^(2*3) es decir y^6. Luego esto está dividido por y^4, como es una división de términos de igual base los exponentes se restan y te queda y^(6-4) = y^2.
e) De nuevo tenes algo (el 4) elevado a un exponente (el 2) y todo eso elevado a otro exponente (el 5) entonces los exponentes se multiplican y te queda el 4 elevado a la 2*5 es decir (4^2)^5 = 4^(2*5) = 4^10. Como esta dividido por 4^6 los exponentes se restan y te queda 4^(10-6) = 4^4.
f) Al igual que antes, queda (9^2)^3 * 9 = 9^(2*3) * 9 = 9^6 * 9 (9 sería como 9 a la 1 es decir 9 = 9^1) entonces 9^6 * 9 = 9^6 * 9^1 = 9^(6+1) = 9^7
g) Cualquier número elevado a la cero da 1. Luego tenes 1*3*3^5 = 3^(1+5) = 3^6
h) En el término (2^2)^2 los exponentes se multiplican y te queda 2^(2*2) = 2^4. Entonces te queda por hacer la operación 2^3 * 2 / 2^4. Como la división y la multiplicación tienen la misma jerarquía en las operaciones, simplemente hay que empezar de izquierda a derecha. Es decir que en este caso realizaremos primero la multiplicación. Te queda 2^(3+1) / 2^4 es decir 2^4 / 2^4 = 1.
i) Todos los términos tienen la misma base, si se multiplican los exponentes se suman y si se dividen se restan entonces queda 2^(2+4+1-5) = 2^2 = 4.
j) Los términos no tienen la misma base pero si tienen el mismo exponente. Puedo agrupar los términos así 3^3 * 5^3 / 7^3 = { 3*5/7 } ^3 = { 15/7 }^3
k) 1 al cubo es multiplicar 1 por si mismo, entonces da 1. Entonces tenes 4^3 multiplicado por 1, lo cual da 1.
l) De nuevo cuando tenes algo (en este caso el 2) elevado a un exponente (en este caso el 4) y todo eso elevado a otro exponente (en este caso el 12) los mismos se multiplican. Entonces tenes 2 elevado a la 4*12 es decir 2 elevado a la 48, y todo eso elevado a la cero ( (2^4)^12 )^0 = (2^48 )^0. De nuevo tenes algo (el 2) elevado a un exponente (el 48), y todo ese término elevado a otro exponente (el 0), entonces los exponentes se multiplican, te queda 2^(48*0) es decir 2^0 lo cual es 1.
Si tienes dudas sobre si cualquier propiedad se cumple, algo que puedes probar es buscar un ejemplo más sencillo.
También por ejemplo para ver que pasa si (y^2)^3 es igual a y^6 o cualquier otra expresión con variables, podes darle algún valor a y y checkear que se cumpla. Ejemplo le doy el valor 5. De la primer manera me queda (5^2)^3 = 25^3 = 15625, que es lo mismo que directamente hacer 5^3, entonces no es que "comprobé" que se cumpla si o si ya que checkee para solo un valor, pero al menos me sirve para encontrar errores o por si estoy en duda.
Un saludo.
b) Entre paréntesis tenes una división de dos términos iguales entonces da 1. Luego como el paréntesis multiplica a m^3 te queda m^3 multiplicado por 1 es decir m^3
c) En el orden para resolver operaciones, digamos que la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía (primero se resuelven los paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas). Entonces si tenes varías de estas operaciones en un renglón, deberás realizarlas de izquierda a derecha. Entonces comenzarías con x^2/x^4 que da 1/x^2 y luego lo dividirías por x^2, y como dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso te quedaría 1/x^2 sobre 1/x^2 es decir una división entre dos números iguales, por lo cual da 1.
d) Cuando tenes algo elevado a un exponente (en este caso y elevado al cuadrado) y todo ese término elevado a otro exponente, esto es lo mismo que tener la base *que en este caso sería y*, elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Eso sería y^(2*3) es decir y^6. Luego esto está dividido por y^4, como es una división de términos de igual base los exponentes se restan y te queda y^(6-4) = y^2.
e) De nuevo tenes algo (el 4) elevado a un exponente (el 2) y todo eso elevado a otro exponente (el 5) entonces los exponentes se multiplican y te queda el 4 elevado a la 2*5 es decir (4^2)^5 = 4^(2*5) = 4^10. Como esta dividido por 4^6 los exponentes se restan y te queda 4^(10-6) = 4^4.
f) Al igual que antes, queda (9^2)^3 * 9 = 9^(2*3) * 9 = 9^6 * 9 (9 sería como 9 a la 1 es decir 9 = 9^1) entonces 9^6 * 9 = 9^6 * 9^1 = 9^(6+1) = 9^7
g) Cualquier número elevado a la cero da 1. Luego tenes 1*3*3^5 = 3^(1+5) = 3^6
h) En el término (2^2)^2 los exponentes se multiplican y te queda 2^(2*2) = 2^4. Entonces te queda por hacer la operación 2^3 * 2 / 2^4. Como la división y la multiplicación tienen la misma jerarquía en las operaciones, simplemente hay que empezar de izquierda a derecha. Es decir que en este caso realizaremos primero la multiplicación. Te queda 2^(3+1) / 2^4 es decir 2^4 / 2^4 = 1.
i) Todos los términos tienen la misma base, si se multiplican los exponentes se suman y si se dividen se restan entonces queda 2^(2+4+1-5) = 2^2 = 4.
j) Los términos no tienen la misma base pero si tienen el mismo exponente. Puedo agrupar los términos así 3^3 * 5^3 / 7^3 = { 3*5/7 } ^3 = { 15/7 }^3
k) 1 al cubo es multiplicar 1 por si mismo, entonces da 1. Entonces tenes 4^3 multiplicado por 1, lo cual da 1.
l) De nuevo cuando tenes algo (en este caso el 2) elevado a un exponente (en este caso el 4) y todo eso elevado a otro exponente (en este caso el 12) los mismos se multiplican. Entonces tenes 2 elevado a la 4*12 es decir 2 elevado a la 48, y todo eso elevado a la cero ( (2^4)^12 )^0 = (2^48 )^0. De nuevo tenes algo (el 2) elevado a un exponente (el 48), y todo ese término elevado a otro exponente (el 0), entonces los exponentes se multiplican, te queda 2^(48*0) es decir 2^0 lo cual es 1.
Si tienes dudas sobre si cualquier propiedad se cumple, algo que puedes probar es buscar un ejemplo más sencillo.
También por ejemplo para ver que pasa si (y^2)^3 es igual a y^6 o cualquier otra expresión con variables, podes darle algún valor a y y checkear que se cumpla. Ejemplo le doy el valor 5. De la primer manera me queda (5^2)^3 = 25^3 = 15625, que es lo mismo que directamente hacer 5^3, entonces no es que "comprobé" que se cumpla si o si ya que checkee para solo un valor, pero al menos me sirve para encontrar errores o por si estoy en duda.
Un saludo.
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