Question

si p es el punto (-1,y) y su distancia al origen es la mitad de su distancia al punto (1,3), determine el valor de y

Answer 1

Buenas noches,

para resolver el ejercicio utilizamos la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos que es:

$d= \sqrt{ (x_{2}- x_{1})^{2} + (y_{2}- y_{1})^{2}}$

entonces la distancia desde el origen (0,0) hasta el punto P (-1,y) es:
$d_{1} = \sqrt{ (-1- 0)^{2} + (y- 0)^{2}} \\ d_{1} = \sqrt{ 1+ y^{2}}$

La distancia entre P (-1,y) hasta el punto (1,3) es
$d_{2} = \sqrt{ (-1- 1)^{2} + (y- 3)^{2}} \\ d_{2} = \sqrt{ 4+ (y-3)^{2}}$

Ahora, dice que la distancia hasta el origen es la mitad de esta última, entonces:
$2* \sqrt{ 1+ y^{2}}= \sqrt{ 4+ (y-3)^{2}} \\ 4*(1+ y^{2})=4+ (y-3)^{2} \\ 4+4y^{2}=4+y^{2}-6y+9 \\ 3y^{2}+6y-9=0 \\ y^{2}+2y-3=0 \\ (y+3)(y-1)=0 \\ y_{1} =-3 \\ y_{2} =1$

Esas son las dos posibles respuestas.