Question

cuales son los puntos máximo y mínimo de la función: x^3+2x^2+x+1

Answer 1

Se tiene la función.
f(x)= x³ +2x² +x +1

Se efectúa la primera derivada.
f '(x)= 3x² +4x +1

Se desea conocer el máximo y mínimo, la primera derivada se iguala a cero y se resuelve.
3x² +4x +1=0
(3x)² +4(3x) +3 =0
(3x+3)(3x+1) =0

3x+3=0
x= -3/3
x₁= -1

3x+1=0
x₂= -1/3

Se efectúa la segunda derivada y se evalúan las raices obtenidas para conocer los máximos y mínimos.
f '(x)= 3x² +4x +1
f ''(x)= 6x +4
f ''(-1)= 6(-1) +4= -6+4= -2 el signo es negativo y se trata de un máximo.
f ''(-1/3)= 6(-1/3) +4= -2+4= +2 el signo es positivo y se trata de un mínimo.

Ahora, los valores -1 y -1/3 se sustituyen en f(x) para conocer su ubicación (coordenada).
f(x)= x³ +2x² +x +1
f(-1)= (-1)³ +2(-1)² + (-1) +1= -1+2-1+1= +1 
f(-1/3) = (-1/3)³ +2(-1/3)² + (-1/3) +1= -1/27 + 2/9 - 1/3 +1= 23/27

Punto máximo: (-1, 1)
Punto mínimo: (-1/3 , 23/27 ) 
--> R/.