Question

URGENTE!!! Por Favor hallar la primera derivada de la siguiente función $y= e^{3x} Cos2x$


Por Favor realizar el procedimiento paso a paso y propiedades aplicadas. Gracias.

Answer 1

Formula de la derivada de un producto:
f(x)=(u·v)
f(x)= u`·v+u·v`

y=e³ˣCos2x
d/dx=(e³ˣ·Cos2x)

= d/dx(e³ˣ)·cos2x + e³ˣ·d/dx(cos2x)
=3eˣ·cos2x+e³ˣ(-2sen(2x))
= 3eˣ·cos2x - e³ˣ(2sen(2x))←Factorizar
=eˣ(3cos(2x)-2sen(2x))

Saludos!

Answer 2

F(x) = (e^3x)*Cos(2x)
F'(x) = ?

Vale, aquí tenemos diferentes cosas a ver:
Primero de todo tenemos un coseno de ángulo doble y luego tenemos una e. Vamos a realizar las derivadas de cada una de las partes por separado:

Para derivar usamos el siguiente procedimiento:
denominemos a e^3x --> F(x) y a cos(2x)--> G(x)

F'(x)*G(x) + F(x)*G'(x)

Ésta es la derivada que operaremos (para saber que derivada utilizar existen tablas que estaría bien saberse ya que en un futuro se requieren, si seguirás con la rama de números, claro)

H(x) = e^3x
Nota: Al exponente, se le hace la derivada (derivada de 3x es 3) y se multiplica delante:
H'(x) = 3e^3x

G(x) = cos(2x)
Nota: La derivada del coseno es -sen. Pero 2x se debe tambien derivar y enviar delante (derivada de 2x es 2):
G'(x) = -2sen(2x)

Ahora lo juntamos:
3e^3x*cos(2x) + e^3x*(-)2sen(2x) = (3cos(2x) - 2sen(2x))e^3x

Es posible que te pidan que lo arregles al máximo, ya que hay ángulos dobles en este resultado. Voy a hacer un paso adicional que solo te servirá en caso de que te lo pidan:

Parte B* opcional:

sen(2x) = sen(x + x) = senx*cosx + cosx*senx = 2senxcosx
cos(2x) = cos(x + x) = cosx*cosx - senx*senx = cos²x - sen²x 

Si cos²x + sen²x = 1 --> -sen²x = cos²x - 1
cos(2x) = 2cos²x - 1

F'(x) = (3(2cos²x - 1) - 2(senxcosx))*e^3x = 6cos²x - 3 - 2sen(x)cos(x)*e^3x = (6cos(x)-3-2sen(x)*e^3x)cos(x)




Adentrémonos en los confines de la segunda derivada. Descartando la descomposición del ángulo doble (complica mucho el cálculo), vayamos a realizarlo:

Tenemos que F'(x) = (3cos(2x) - 2sen(2x))e^3x
Podemos hacerlo de 2 formas, con el paréntesis o sin él. Personalmente elijo con él ya que, aunque pueda complicar un poco la escritura, simplifica mucho los cálculos.

Vamos a por ello pues:

H(x) = 3cos(2x) -2sen(2x)
H'(x) = -6sen(2x) -4cos(2x)

G(x) = e^3x
G'(x) = 3e^3x

F''(x) = H'(x)*G(x) + H(x)*G'(x)
F''(x) = (-6sen(2x) -4cos(2x))*e^3x + (3cos(2x) -2sen(2x))*3e^3x

Saquemos e^3x como factor común para que quede más ordenado:

F''(x) = (-6sen(2x) -4cos(2x) + 3*(3cos(2x) -2sen(2x)))e^3x 

F''(x) = (-6sen(2x) - 4cos(2x) + 9cos(2x) - 6sen(2x))e^3x

Si te fijas los senos y cosenos se suman entre ellos:
F''(x) = (5cos(2x) - 12sen(2x))e^3x

Ésta es la respuesta, si en algún momento te enteras que la quieren con los paréntesis simplificados ponlo en los comentarios y en cuanto pueda intentaré resolverlo.