Question

Buenas noches, quisiera saber cual es el dominio de la siguiente función 1 / (16x^2 -4y^2 -16) y las curvas de nivel para c= 0,4,9

Answer 1

$z(x,y)=\frac{1}{16x^2-y^2-16}$

El dominio de una función es el conjunto de números o funciones que arrojan operaciones permitidas, las restricciones del dominio son aquellos valores o funciones que arrojan operaciones no permitidas (como dividir por cero o calcular el logaritmo de un número negativo).

En este caso, como tenemos una división, la única restricción que puede tener el dominio es que el denominador se vuelva igual a cero, por lo tanto lo planteamos:

$16x^2-4y^2-16=0$

$16x^2-4y^2=16$

Dividimos a ambos lados por $16$

$x^2-\frac{y^2}{4}=1$

Esta es la ecuación de una hipérbola con semidiámetros $1$ y $2$

Por lo tanto el dominio de esta función puede escribirse como:

$Dom\:z:\:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus (x^2-\frac{y^2}{4}\neq 1)\}$

Luego para las curvas de nivel se iguala $z$ a los valores pedidos:

$z(x,y)=0$

$\frac{1}{16x^2-4y^2-16}=0$

$1=0(16x^2-4y^2-16)$

$1=0$

Por lo visto esto es absurdo por lo tanto el conjunto de nivel cero es vacío.

$C_0=\{\}$

Para el siguiente valor $C_4$

$z(x,y)=4$

$\frac{1}{16x^2-4y^2-16}=4$

$1=4(16x^2-4y^2-16)$

$1=64x^2-16y^2-64$

$1+64=64x^2-16y^2$

Dividimos a ambos lados por $65$ y escribimos el sistema convenientemente

$1=\frac{x^2}{\frac{65}{64}}-\frac{y^2}{\frac{65}{16}}$

Por lo tanto este conjunto de nivel será una hipérbola con semidiámetros $\frac{\sqrt{65}}{8}$ y $\frac{\sqrt{65}}{4}$ respectivamente, lo escribimos:

$C_4=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus \left(\frac{x^2}{\frac{65}{64}}-\frac{y^2}{\frac{65}{16}}=1\right)\}$

Para el $C_9$ se hace exactamente el mismo análisis que para el $C_4$, lo único que cambiará serán los valores evaluados.

Espero que te sirva de ayuda, saludos.