Question

determinar el dominio y el rango de 2x/x^2+1

Answer 1

El dominio como dice el chico de arriba son todos los reales x∈(-∞,∞), pero el rango no son todos los reales.

Para saber cual es el rango analíticamente debes primero ver si tiene simetría respecto al eje x (impar) o y (par), eso te da bastante información. Luego podrías aplicar límite para ver hacia donde va la función (f(x) ) cuando x=∞.
Para este caso particular f(x) es impar porque cumple que f(x) = -f(x) (compruébalo ), esto indica que la función podría ir desde -∞ al ∞. Para estar seguros aplicamos límite cuando x tiende a ∞ (x⇒∞):

lim x⇒∞ 2x/(x²+1) = 2(x/x²) /( (x²/x²)+ (1/x²)) =  2(0) /(1+0)= 0/1 = 0

Esto significa que la función tiene un pico y luego desciende tendiendo a cero para ambos lados respecto al eje x (porque es impar) .

Esto significa que el rango de la función esta entre el "pico negativo " y el "pico positivo". ¿Cómo hallas dichos picos? , derivando f(x) e igualando a cero 

dy/dx = (2x)(2x) - (x²+1)(2) / (x²+1)²= 4x²-2x²-2 /(x²+1)²= 2(x²-1)/(x²+1)²
dy/dx=0
2(x²-1)/(x²+1)²=0
2(x²-1) =0
x²-1= 0
x²= 1
√x²= √1
lxl= 1
x= +-1 

Los picos se presentan cuando x= 1  donde f(1) = 1 y x= -1 donde f(-1)=-1 

Así, el rango va desde  f(x) ∈ [-1,1]

Te dejo la gráfica para que compruebes.