Question

En una progresión geométrica el cuarto término es 16 y el noveno término es 1/2. Hallar la suma de todos los términos de la progresión.

Answer 1

Respuesta: La suma de todos los términos es 256

Desarrollo: La progresión o sucesión geométrica sigue la forma

a₁
a₂ = a₁ × r
a₃ = a₂ × r
a₄ = a₃ × r
...
an = an-1 × r

Como datos conocemos lo siguiente:
a₄ = 16
a₉ = 1/2

Debemos hallar r y a₁ para poder determinar los demás términos; expresamos lo siguiente:

a₄ = a₃ × r
16 = (a₂ × r) × r
16 = (a₁ × r) × r²
16 = a₁ × r³, despejamos a₁

a₁ = 16/r³ (I)

Igual hacemos para a₉: 1/2 = a₁ × r⁸

a₁ = 0.5/r⁸ (II)

Igualamos I y II:

$\frac{16}{r^{3} } = \frac{0.5}{r^{8} }$

16r⁸ = 0.5r³
32r⁵ = 1
r⁵ = 1/32
r = $\sqrt[5]{(1/32)}$
r = 1/2

Conociendo este valor hallamos a₁:

a₁ = 16/(1/2)³
a₁ = 128

Fórmula para hallar todos los términos de la sucesión:

$S_{oo} = \frac{ a_{1} }{1-r}$

$S_{oo} = \frac{128}{1-0.5} = 256$