Question

calcular, si existe, el $\lim_{x \to \9} \frac{ \sqrt{x} -3}{x-9}$.

Answer 1

Para resolver el límite sólo tienes que racionalizar multiplicando por la conjugada del numerador ($\sqrt{x} -3$ ) que es $\sqrt{x} +3$ para que al multiplicar se elimine la raíz.
$\lim_{x \to 9} \frac{ \sqrt{x} -3}{x-9} \\= \lim_{x \to 9} \frac{ \sqrt{x} -3}{x-9}*\frac{ \sqrt{x} +3}{\sqrt{x} +3} \\ =\lim_{x \to 9} \frac{ x-9}{(x-9)(\sqrt{x} +3)}\\=\lim_{x \to 9} \frac{ 1}{(\sqrt{x} +3)}\\= \frac{1}{ \sqrt{9}+3} = \frac{1}{6} \\ \\ \lim_{x \to 9} \frac{ \sqrt{x} -3}{x-9}= \frac{1}{6}$