Question

Me ayudan con este ejercicio de Geometría?
Si la medida de un ángulo interior y exterior de un polígono regular están en la relación de 7 a 2. El número de diagonales del polígono es:

Answer 1

Pues hay que partir de la base de que en cualquier polígono el ángulo interior y exterior son suplementarios, es decir que suman 180º

De ahí podemos representar los dos ángulos en función de una sola incógnita de este modo:

Ángulo interior = x
Ángulo exterior = 180-x

Como nos dice la relación entre los dos, se plantea esta ecuación:
El ángulo interior "x" es al ángulo exterior "180-x", como 7 es a 2

$\frac{x}{180-x} = \frac{7}{2} \\ \\ 2x=1260-7x \\ \\ 9x=1260 \\ \\ x= \frac{1260}{9} =140$

Si el interior mide 140º, el exterior mide 180-140 = 40º
Y en un polígono regular, el exterior siempre es igual al central, así que dividiendo el ángulo total de la circunferencia (360º) entre lo que mide el central (40º) me dará los lados y vértices del polígono.

360 : 40 = 9 lados (eneágono)

Sabiendo los lados, aplico la fórmula para calcular las diagonales:

$N\º\ diagonales= \frac{n*(n-3)}{2}= \frac{9*6}{2}=27\ diagonales.$

Saludos.