Question

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola x elevado a la 2= 18y y que es perpendicular a la recta 2x+4y+7=0

Answer 1

La ecuación de la parábola es igual a x²=18x

La ecuación de la recta perpendicular a la buscada es 2x+4y+7=0

Se sabe que la relación entre pendientes para rectas perpendiculares es 

m1=-1/m2

Para calcular m2 debemos despejar y de la ecuación de la recta perpendicular y calcular y para dos valores de x

y=(-7-2x)/4

Si x=0 

y= -7/4

Si x=1

y=-9/4

Por lo tanto, la pendiente será

$m2= \frac{y2-y1}{x2-x1}$

$m2= \frac{- \frac{9}{4}+ \frac{7}{4} }{1-0}=- \frac{2}{4}=- \frac{1}{2}$

m2=-0.5

Por lo tanto la pendiente de nuestra recta será 

m1=-1/0.5=2

Para completar nuestra ecuación de la recta necesitamos saber el punto de tangencia con la parábola

El punto de tangencia de la parábola será el punto en el que la pendiente de la parábola sea igual a la pendiente de la recta es decir que la derivada de la función de la parábola sea igual a -2.

f'(x)=2x-18

f'(a)=2a-18=2

2a=2+18

2a=20

a=10

f(a)=10^2-18(10)=-80

Como ya tenemos el valor de la pendiente y el valor de los puntos a y f(a) de tangencia con la parabola podemos escribir la ecuacion de la recta

y-y1=m(x-x1)

y+80=2(x-10)

y+80=2x-20

y=2x-100