Question

El producto de dos números que se diferencian en 3 unidades es 180, ¿cuál es el menor de ellos?

Answer 1

El producto de dos números  que se diferencian en 3 unidades es 180

Se resuelven con una ecuación cuadrática:

(x) · (x + 3) = 180

Aplicar la propiedad distributiva
   
     x² + 3x = 180
pasar el 180 al otro lado de la igualdad cambiándole el signo

     x² + 3x - 180 = 0
Para resolverlo se puede usar dos métodos 1) la factorización y 2) fórmula general.
Usaremos las dos para demostrar que se obtiene el mismo resultado:

FACTORIZACION
                                              x² + 3x - 180
abrimos parentesis             (x     )  (x       )
El signo del primer parentesis se toma del que ya esta entre primer  y segundo términos  x² + 3x
 
                                     (x +   )  (x      )
El segundo signo es el resultado de aplicar la ley de los signos que están entre el segundo y tercer términos: + 3x - 180   + por - = -
  
                              (x +  )  ( x  -  )
Ahora buscamos dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados den - 180 y sumados de + 3. Para buscarlo, tómanos el término independiente y lo descomponemos en factores primo:

180   tiene tercera    3
  60   tiene tercera    3
  20   tiene segunda  2
  10   tiene segunda  2
    5   tiene quinta     5
    1
La combinación de los números obtenidos 3,3,2,2 y 5  tiene que cumplir nuestros números buscados para factorizar
 
    3 por 5 = 15   y 2 por 2 por 3 = 12
    (+15) por (-12) = - 180  Nota se aplica la ley de los signos + por - = -
     15 - 12 = 3 que es el otro numero buscado.
El resultado queda así
      
         (x + 15)  ( x - 12)
 
   El producto de dos números que se diferencian en tres unidades dan 180
  12 y 15 se diferencian en tres unidades
 12 por 15 = 180.

Solo por agregar otro método alternativo responderemos a la ecuación obtenida usando la fórmula general
 
     x² + 3x - 180 = 0 
Tomamos los coeficientes:
  a = 1  b = 3  c = -180
x = - b +/- √b² - 4 a c
                 2a
Sustituimos los valores que tenemos:

x = - 3 +/- √3² - 4 (1) (-180)
                 2 (1)

x = - 3 +/. √9 + 720
                 2

x = - 3 +/- √729
             2

√729 = 27

Tenemos dos soluciones:

x₁ = - 3 + 27 = 24  = 12    
             2         2
x₁ = 12

x₂ = - 3 - 27  = - 30 = -15
            2            2   
x₂ = -15
Aquí podemos aplicar el teorema del factor nulo, por que el resultado es negativo:
  
x = - 15
x - 15 = 0 
pasamos el 15 al otro lado de la igualdad cambiándole el signo

x = 0 + 15
x = 15

Nuestros dos números que satisfacen las condiciones par resolver la ecuación son:

12 y 15

Listo