La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 1 cm. mayor que el doble de la
longitud del cateto más corto, y el cateto mayor es 9 cm. menor que el triple del
cateto menor. Encuentra las longitudes de tres lados del triángulo.
Respuestas
Respuesta dada por:
3
En un triángulo rectángulo tenemos los lados a, b, c. Entonces planteamos:
SEA:
Cateto menor (a): X
Cateto mayor (b): (3X - 9)
Hipotenusa (c): (2X + 1)
RESOLVIENDO:
Utilizamos el Teorema de Pitágoras, en donde c² = a² + b², entonces:
(2X + 1)² = (X)² + (3X - 9)²
4X² + 4X + 1 = X² + 9X² - 54X + 81 ===> Operamos términos semejantes.
4X² 4X + 1 = 10X² - 54X + 81
0 = 6X² - 58X + 80
6X² - 58X + 80 = 0 ===> Simplificamos
![\frac{6X ^{2}-58X+80=0 }{2} \frac{6X ^{2}-58X+80=0 }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B6X+%5E%7B2%7D-58X%2B80%3D0+%7D%7B2%7D)
3X² - 29X + 40 = 0 ===> Resolvemos por factorización.
(3X)² - 29(3X) + 120 = 0
(3X - 24) (3X - 5) = 0
3X - 24 = 0 ; 3X - 5 = 0
Obteniendo X₁:
3X - 24 = 0
3X = 24
X₁ =![\frac{24}{3} \frac{24}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B24%7D%7B3%7D)
X₁ = 8 ===> Cateto menor (a). RESPUESTA
Obteniendo X₂:
3X - 5 = 0
3X = 5
X₂ =
===> Descartado (no satisface las condiciones del problema).
Ahora despejamos:
3(8) - 9 = ?
24 - 9 = 15 cm ===> Cateto mayor (b). RESPUESTA
2(8) + 1 = ?
16 + 1 = 17 ===> Hipotenusa (c). RESPUESTA
COMPROBACIÓN:
Evaluamos los catetos por Pitágoras, debiendo obtener 17, luego comprobamos:
![C ^{2}=(8) ^{2}+(15) ^{2} C ^{2}=(8) ^{2}+(15) ^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=C+%5E%7B2%7D%3D%288%29+%5E%7B2%7D%2B%2815%29+%5E%7B2%7D+)
![C ^{2}=64+225 C ^{2}=64+225](https://tex.z-dn.net/?f=C+%5E%7B2%7D%3D64%2B225)
![C ^{2}=289 C ^{2}=289](https://tex.z-dn.net/?f=C+%5E%7B2%7D%3D289)
![C= \sqrt{289} C= \sqrt{289}](https://tex.z-dn.net/?f=C%3D+%5Csqrt%7B289%7D)
![C=17\quad\checkmark\ El\ resultado\ es\ correcto. C=17\quad\checkmark\ El\ resultado\ es\ correcto.](https://tex.z-dn.net/?f=C%3D17%5Cquad%5Ccheckmark%5C+El%5C+resultado%5C+es%5C+correcto.)
MUCHA SUERTE...!!!
SEA:
Cateto menor (a): X
Cateto mayor (b): (3X - 9)
Hipotenusa (c): (2X + 1)
RESOLVIENDO:
Utilizamos el Teorema de Pitágoras, en donde c² = a² + b², entonces:
(2X + 1)² = (X)² + (3X - 9)²
4X² + 4X + 1 = X² + 9X² - 54X + 81 ===> Operamos términos semejantes.
4X² 4X + 1 = 10X² - 54X + 81
0 = 6X² - 58X + 80
6X² - 58X + 80 = 0 ===> Simplificamos
3X² - 29X + 40 = 0 ===> Resolvemos por factorización.
(3X)² - 29(3X) + 120 = 0
(3X - 24) (3X - 5) = 0
3X - 24 = 0 ; 3X - 5 = 0
Obteniendo X₁:
3X - 24 = 0
3X = 24
X₁ =
X₁ = 8 ===> Cateto menor (a). RESPUESTA
Obteniendo X₂:
3X - 5 = 0
3X = 5
X₂ =
Ahora despejamos:
3(8) - 9 = ?
24 - 9 = 15 cm ===> Cateto mayor (b). RESPUESTA
2(8) + 1 = ?
16 + 1 = 17 ===> Hipotenusa (c). RESPUESTA
COMPROBACIÓN:
Evaluamos los catetos por Pitágoras, debiendo obtener 17, luego comprobamos:
MUCHA SUERTE...!!!
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d0f/2070dc2593955f3d9c0eada856778039.jpg)
JuanRicardo:
Espero haberte ayudado.
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