Question

Hola alguien podria decirme cual es la expresion cuadratica que representa el problema "dados los 2 numeros cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados 104"
a) y²-12y+20=0
b) y²+12y+20=0
c) y²-12y-20=0
d) y²+12y-20=0
Gracias

Answer 1

Lo resolvemos con un sistema de ecuaciones 2x2

Dados dos números cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados 104

Dados dos números cuya suma sea 12:   x + y = 12
La suma de sus cuadrados sea 104: x² + y² = 104

(1)   x + y = 12
(2)   x² + y² = 104
Despejar x en la (1)
 
(3)  x = 12 - y
Sustituir en (2)
(12 - y)² + y² = 104

Tenemos un binomio al cuadrado: (12 - y)²
El cuadrado del primer término = (12)² 
Menos el doble producto del primer término
por el segundo término = 2 · 12· y
Mas el cuadrado del segundo término = y²

Nuestra expresión queda así:
 
     (12)² - 2 · 12 · y + y² + y² 104
operamos 
 
   144 - 24y + 2y² = 104
   ordenamos en forma decreciente tomando como base la y
         2y² - 24y + 144 = 104
Reducir términos semejantes
  
         2y² - 24y + 144 - 104 = 0
         2y² - 24y + 20
Simplificamos los dos primeros términos
 
       y² -12y + 20
Factorizamos
  (y -   )  (y  -   )
Buscamos dos números negativos que multiplicados den 20 y sumados -12

el 20 lo descomponemos en actores primos:

20  tiene 2
10  tiene 10
  1

Por lo tanto (-10) (-2) = 20  *recuerda la ley de los signos menos por menos da más
- 10 - 2 = -12
 
      (y - 10)  (y - 2)

Aplicamos el teorema del factor nulo o igualar a cero
  y - 10 = 0         y - 2 = 0
  y = 10             y = 2

Por lo tanto, podemos darle el valor a nuestras ecuaciones

x = 2   y = 10 o viceversa. Esta es la solución

Comprobemos nuestras ecuaciones
 
 (1)      x + y = 12
           2  + 10 = 12 correcto
(2)       x² + y² = 104
           2²  +  10² = 104
           4  +  100 = 104 correcto

Por lo tanto el enciso a) es la respuesta correcta a nuestro ejercicio
y² - 12y + 20