Question

- Demostrar que la ecuación x^2 + y^2 + 2y- 49 =0 Es una circunferencia. Determinar:

a) Centro

b) Radio

- Demostrar que la ecuación 〖18x〗^2-64x-14y+150=0. Determine:

Vértice

Foco

Directriz

Answer 1

La ecuación que representa a la circunferencia es:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

En donde $x_0$ e $y_0$ son los corrimientos del centro sobre $x$ e $y$ respectivamente, y $r$ es el radio de la circunferencia.

Por lo tanto, para este problema:

$x^2+y^2+2y-49=0$

$x^2+y^2+2y=49$

Sumamos $1$ a ambos lados, para completar cuadrados:

$x^2+y^2+2y+1=49+1$

$x^2+y^2+2y+1=50$

Que, equivalentemente:

$x^2+(y+1)^2=50$

Aquí vemos que llegamos a la ecuación de la circunferencia, por lo tanto queda demostrado que lo es. Luego vemos que los corrimientos del centro son $x_0=0$ e $y_0=1$, por lo que el centro se encuentra en el punto $(0,-1)$

Por ultimo, de la ecuación de la circunferencia sacamos que $r^2=50$, por lo que $r=\sqrt{50}$

Es decir, el radio de esta circunferencia es $\sqrt{50}\cong 7,071$

Para la segunda parte, presentamos la ecuación general de cualquier parábola:

$y=ax^2+bx+c$

Luego, para este problema:

$(18x)^2-64x-14y+150=0$

$-14y=-(18x)^2+64x-150$

$y=\frac{-324}{-14}x^2+\frac{64}{-14}x-\frac{150}{-14}$

$y=\frac{162}{7}x^2-\frac{32}{7}x+\frac{75}{7}$

Por lo que llegamos a la forma de la ecuación cuadrática, luego pasamos a calcular lo pedido.
El vértice de una parábola se calcula como:

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$y_v=f(x_v)$

Luego aplicamos los valores hallados:

$x_v=-\frac{-32/7}{2\times 162/7}$

$x_v=\frac{32}{324}$

$x_v=\frac{8}{81}$

Luego:

$y_v=f(x_v)$

$y_v=f(8/81)$

$y_v=\frac{162}{7}(\frac{8}{81})^2-\frac{32}{7}(\frac{8}{81})+\frac{75}{7}$

$y_v=\frac{162}{7}\times\frac{64}{6561}-\frac{256}{567}+\frac{75}{7}$

$y_v=\frac{128}{567}-\frac{256}{567}+\frac{75}{7}$

$y_v=\frac{5947}{567}$

Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto $(\frac{8}{81},\frac{5947}{567})$

El foco de cualquier parábola se halla en el punto $(x_v,y_v+\frac{1}{4a})$

Por lo que reemplazamos:

$y_v+\frac{1}{4a}=\frac{5947}{567}+\frac{1}{4(162/7)}$

$y_v+\frac{1}{4a}=\frac{5947}{567}+\frac{7}{162\times 4}$

$y_v+\frac{1}{4a}\cong 10,5$

Entonces el foco está sobre en el punto $(\frac{8}{81}\:,\:10,5)$

Luego la directriz es una recta horizontal que se encuentra sobre:

$y=y_v-\frac{1}{4a}$

$y=\frac{5947}{567}-\frac{7}{4\times 162}$

$y\cong 10,4778$

De esta forma, la directriz se encuentra en aproximadamente $y=10,4778$ y con eso ya cerramos el problema.